Mathematical analysis of some three-dimensional fluid and magnetohydrodynamic models - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2020

Mathematical analysis of some three-dimensional fluid and magnetohydrodynamic models

Analyse mathématiques pour quelques modèles tridimensionnels de la mécanique des fluides et de la magnétohydrodynamique

Résumé

This thesis is basically devoted to the study of some mathematical properties of three equations: the Navier-Stokes equations, the Boussinesq equations and the Hall-magnetohydrodynamic equations in the three-dimensional context. It is worth noting that, for the time being, the question of the global solvability of the 3D Navier-Stokes equations remains as an open problem: In particular we do not know if a regular initial data would whether uniquely generate a global in time regular solution or if a formation of a singularity at finite time can occur. Thus, it is clear that such a problem is still open for all the equations studied in this work. The goal of this thesis is to study first some conditions related to the blow-up phenomenon of the 3D Navier-Stokes equations that can occur at finite time Chapter 2. Then, Chapters 3, 4 and 5 are devoted to the question of the well-posedness of the Boussinesq system with different cases of dissipation. More precisely, in Chapter 3 we establish the global well-posedness of the completely viscous Boussinesq equations when the initial data is axisymmetric belonging to the critical Lebesgue spaces. On the other hand, in the case when there is no dissipation in the temperature’s equation, it is hard to work in critical spaces. However, in Chapter 4 we solve the problem globally in time in the situation where the initial data is axisymmetric and critical with respect to the velocity's scaling. The main result in Chapter 5 is the uniqueness of the solution (in some class of anisotropic spaces) to the Boussinesq system with partial dissipation in all the equations. We use then this latest to improve some known results. Finally, in Chapter 6 we establish several results of the local (or global for small initial data) well-posedness and large time behavior of the global solutions (in several functional spaces) to a model of Hall-MHD.
Cette thèse est essentiellement consacrée à l'étude de certaines propriétés mathématiques de trois équations : les équations de Navier-Stokes, les équations de Boussinesq et les équations de Hall magnétohydrodynamique, dans le contexte tridimensionnel. Il convient de noter que, pour le moment, la question de la solvabilité globale des équations de Navier-Stokes 3D reste un problème ouvert : nous ne savons pas si des données initiales régulières génèrent, de manière unique, une solution régulière et globale en temps, ou bien si une formation d'une singularité peut se produire à temps fini. Il est donc clair qu'un tel problème est aussi ouvert pour toutes les équations à l'étude dans ce travail. Le but de cette thèse est d'étudier d'abord certaines conditions liées au phénomène de l'explosion à temps fini des solutions des équations de Navier-Stokes 3D (Chapitre 2). Les Chapitres 3, 4 et 5 sont consacrés à la question du caractère bien posé du système de Boussinesq avec différents cas de dissipations. Nous consacrerons le Chapitre 3 aux équations de Boussinesq complètement visqueuses avec des données initiales axisymétriques appartenant aux espaces critiques de Lebesgue. Pour le meme système mais sans dissipation dans l'équation de la température, travailler dans des espaces critiques est plus délicat. Toutefois dans le Chapitre 4 nous parvenons à traiter le cas des données initiales axisymmetriques qui sont critiques par rapport à l'échelle de la vitesse. Le résultat principal du Chapitre 5 est l'unicité des solutions (dans une classe d'espaces anisotropes) du système de Boussinesq avec des dissipations partielles (horizontales) dans toutes les équations. Nous utilisons ensuite ce résultat pour améliorer certains théorèmes déjà établis. Enfin, dans le Chapitre 6 nous établissons quelques résultats du critère bien posé (local en temps ou global pour les données initiales petites) et du comportement à long temps des solutions globales (dans certains espaces fonctionnels) pour un modèle de Hall-MHD.
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2020COAZ4047.pdf (2.93 Mo) Télécharger le fichier
Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03177582 , version 1 (23-03-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03177582 , version 1

Citer

Haroune Houamed. Mathematical analysis of some three-dimensional fluid and magnetohydrodynamic models. Functional Analysis [math.FA]. Université Côte d'Azur, 2020. English. ⟨NNT : 2020COAZ4047⟩. ⟨tel-03177582⟩
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