Asymptotic behaviour and phase transition for random walks in random environments and reinforced random walks
Comportements asymptotiques et transition de phase pour des marches aléatoires en milieux aléatoires et des marches renforcées
Résumé
In this thesis, we study some behaviours of random walks in random environemnts and reinforced random walks. We will first look at random walks in Dirichlet environment and then at two models of reinforced walks: the linealry edge-reinforced random walk and the vertex reinforced jump process. Random walks in Dirichlet environment are a special case of random walk in random environments that exhibit an important property simplifiant leur étude: the statistical invariance by time reversal. We will first use this property to characterize the asymptotic behaviour of these walks in dimensions 3 and higher when they are transient with zero speed. In this case we show that their behaviour is characterized by a stable process. Then we show that this property of statistical invariance by time reversal is actually characteristic of random walks in Dirichlet environments. The linearly edge-reinforced random walk and the vertex reinforced jump process are two closely linked models of reinforced processes. In both models the walk tends to come back to areas it has already visited. We will first show that some characteristic quantities of the model exhibit some monotonicity in their parameters. This induces some consequences: unicity for the phase transition between recurrence and transience, recurrence in dimension 2, and a 0-1 law for recurrence. Then, we will look at a biased version of the linearly edge-reinforced random walk for which we show that its behaviour stays similar to the original model on some infinite graphs
Cette thèse a pour but d'étudier certains comportements de marches aléatoires en milieux aléatoires et de marches renforcées. Nous regardons d'une part les marches aléatoires en milieu de Dirichlet et d'autres part deux modèles de marches renforcées : la marche aléatoire renforcée linéairement par arête et le processus de saut renforcé par sommet. Les marches aléatoires en milieux de Dirichlet sont un cas particulier de marches aléatoires en milieux aléatoires présentant une importante propriété simplifiant leur étude: l'invariance statistique par retournement du temps. Dans une première partie nous utilisons cette propriété pour caractériser le comportement limite de ces marches en dimensions 3 et supérieures dans le cas où elles sont transitoires à vitesse nulle. Dans ce cas nous montrons que leur comportement est caractérisé par un processus stable. Dans une seconde partie nous montrons que la propriété d'invariance statistique par retournement du temps est caractéristique des marches aléatoires en milieu de Dirichlet. La marche aléatoire renforcée linéairement par arête et le processus de saut renforcé par sommet sont deux modèles de processus renforcés intimement liés. Dans ces deux modèles la marche a tendance a revenir vers les zones déjà visitées. Nous montrons que certaines quantités caractéristiques de ces deux modèles présentent une certaine monotonie en leurs paramètres. Cela induit un certain nombre de conséquences notamment une unicité de la transition de phase entre récurrence et transitivité, la récurrence en dimension 2 et une loi du 0-1 pour la récurrence. Dans un second temps on s'intéresse également à une version biaisée du modèle de marche aléatoire renforcée linéairement par arête pour lequel on montre qu'il conserve un comportement similaire pour certains types de graphes
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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