Microscopic and macroscopic modeling of road traffic
Modélisation microscopique et macroscopique du trafic routier
Résumé
This thesis deals with the modeling of local and non local Hamilton-Jacobi equations, and their applications to traffic flow. We are concerned with periodic and stochastic Hamilton-Jacobi equations given at two different scales: microscopic and macroscopic. In fact, at the microscopic scale, we describe the dynamic of each vehicle individually and at the macroscopic scale, we describe the traffic in terms of density. From a modeling point of view, the periodic setting means that all the vehicles are identical. This assumption allows to get very interesting results and to justify macroscopic models but it is not very realistic. In contrast to the periodic setting, we also investigate the stochastic setting in which the type of drivers are randomly distributed. In this work we use the theory of viscosity solution, and we derive macroscopic models from microscopic models. We present the specified periodic and stochastic homogenization of first order evolutive Hamilton-Jacobi equations posed on a junction. The first part of this work contains a periodic homogenization of a Hamilton-Jacobi equation posed on junction. In the second part, we prove a specified stochastic homogenization of first order evolutive Hamilton-Jacobi equations on a very simple junction, i.e the real line with a junction at the origin. The main difficulty and novelty of this work comes from the fact that the hamiltonian is not stationary ergodic. Finally, in the last part, we propose a non-local Hamilton-Jacobi model for traffic flow and we prove the existence and uniqueness of the solution of this model. We also propose a numerical scheme and we prove an error estimate between the continuous solution of this problem and the numerical one.
Cette thèse porte sur la modélisation des équations d'Hamilton-Jacobi, locales et non locales, et leurs applications en trafic routier. On considère dans ce travail des équations d'Hamilton-Jacobi périodiques et stochastiques données à deux échelles différentes : microscopique et macroscopique. À l'échelle microscopique, on décrit la vitesse de chaque véhicule individuellement alors qu'à l'échelle macroscopique, on décrit le trafic en termes de densité. D'un point de vue modélisation, le cadre périodique signifie que tous les véhicules sont identiques. Cette hypothèse permet d'obtenir des résultats très intéressants et de justifier des modèles macroscopiques mais elle n'est pas très réaliste. Contrairement au cadre périodique, nous étudions également le cadre stochastique dans lequel le type de conducteurs est reparti de façon aléatoire. Dans ce travail, nous utilisons la théorie des solutions de viscosité et nous dérivons des modèles macroscopiques à partir de problèmes microscopiques. Nous présentons des résultats d'homogénéisation précisée des équations d'Hamilton-Jacobi périodiques et stochastiques, de premier ordre posées sur une jonction. La première partie de ce travail contient un résultat d'homogénéisation périodique d'une équation d'Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Dans la deuxième partie, nous démontrons un résultat d'homogénéisation stochastique précisée des équations de Hamilton-Jacobi posées sur la ligne réelle avec une jonction à l'origine. La difficulté principale et la nouveauté de ce travail vient du fait que l'hamiltonien n'est pas stationnaire ergodique. Enfin, dans la dernière partie, nous proposons un modèle du type Hamilton-Jacobi non local pour le trafic routier et nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle. Nous proposons également un schéma numérique et nous prouvons une estimation d’erreur entre la solution continue de ce problème et la solution numérique.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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