The Grothendieck–Serre conjecture over valuation rings
La conjecture de Grothendieck–Serre sur les anneaux de valuation
Résumé
In this article, we establish the Grothendieck–Serre conjecture over valuation rings: for a reductive group scheme G over a valuation ring V with fraction field K, a G-torsor over V is trivial if it is trivial over K. This result is predicted by the original Grothendieck–Serre conjecture and the resolution of singularities. The novelty of our proof lies in overcoming subtleties brought by general nondiscrete valuation rings. By using flasque resolutions and inducting with local cohomology, we prove a non-Noetherian counterpart of Colliot-Thélène–Sansuc's case of tori. Then, taking advantage of techniques in algebraization, we obtain the passage to the Henselian rank one case. Finally, we induct on Levi subgroups and use the integrality of rational points of anisotropic groups to reduce to the semisimple anisotropic case, in which we appeal to properties of parahoric subgroups in Bruhat–Tits theory to conclude. In the last section, by using properties of reflexive sheaves, we also prove a variant of Nisnevich's purity conjecture.
Dans cet article, nous établissons la conjecture de Grothendieck-Serre sur les anneaux de valuation : pour un schéma en groupes réductifs G sur un anneau de valuation V de corps des fractions K, un torseur sous G sur V est trivial s'il est trivial sur K. Ce résultat est prédit par la conjecture originale de Grothendieck-Serre et la résolution des singularités. La nouveauté de notre preuve réside dans le fait de surmonter les subtilités apportées par les anneaux de valuation généraux non discrets. En utilisant des résolutions flasques et en induisant avec la cohomologie locale, nous prouvons une contrepartie non-noétherienne du cas des tores de Colliot-Thélène-Sansuc. Ensuite, en profitant des techniques d'algébraization, nous obtenons le passage au cas hensélien de rang un. Enfin, nous induisons sur les sous-groupes de Levi et utilisons l'intégralité des points rationnels des groupes anisotropes pour réduire au cas anisotrope semi-simple, dans lequel nous faisons appel aux propriétés des sous-groupes parahoriques de la théorie de Bruhat-Tits pour conclure. Dans la dernière section, en utilisant des propriétés des faiseaux réflexifs, nous prouvons également une variante de la conjecture de pureté de Nisnevich.
Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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