Quillen cohomology of enriched operads
Cohomologie de Quillen des opérades enrichies
Résumé
A modern insight due to Quillen, which is further developed by Lurie, asserts that many cohomologytheories of interest are particular cases of a single construction, which allows one to define cohomologygroups in an abstract setting using only intrinsic properties of the category (or ª-category) at hand.This universal cohomology theory is known as Quillen cohomology. In any setting, Quillen cohomologyof a given object is classified by its cotangent complex.The main purpose of this document is to study Quillen cohomology of enriched operads, when workingin the model categorical framework. Our main result provides an explicit formula for computing Quillencohomology of enriched operads, based on a procedure of taking certain infinitesimal models of theircotangent complexes. We are particularly interested in the Quillen cohomology of simplicial operadsand dg operads. There is a natural construction of twisted arrow ª-category of a simplicial operad,which extends the notion of twisted arrow ª-category of an ª-category introduced by Lurie. We assertthat the cotangent complex of a simplicial operad can be represented as a spectrum valued functoron its twisted arrow ª-category. Turning to the context of dg operads, the situation becomes simplerdue to the stability of dg modules. We find that the cotangent complex of a dg operad P can berepresented by a nice infinitesimal P-bimodule, which is in fact closely related to the module of Kählerdifferentials of P via a cofiber sequence. Moreover, we prove the existence of an operadic version ofthe Dold-Kan correspondence, then due to this we find a connection between Quillen cohomology of asimplicial operad and Quillen cohomology of its associated dg operad. In the last section, we establishthe relation between deformation theory and Quillen cohomology
Un aperçu moderne dû à Quillen, qui est développé par Lurie, affirme que de nombreuses théories de cohomologie de l’intérêt sont des cas particuliers d’une construction unique, ce qui permet de définir des groupes de cohomologie dans un réglage abstrait en utilisant uniquement les propriétés intrinsèques de la catégorie (ou infinie-catégorie) à portée de main. Cette théorie universelle de la cohomologie est connue sous le nom de cohomologie de Quillen. Dans n’importe quel contexte, la cohomologie Quillen d’un objet d’intérêt est classée par son complexe cotangent. L’objectif principal de ce document est d’étudier la cohomologie Quillen des opérades enrichies, en travaillant dans le cadre de catégories modèles. Notre résultat principal fournit une formule explicite pour le calcul de la cohomologie Quillendes opérades enrichies, basée sur une procédure de prise de certains modèles infinitésimaux de leurs complexes cotangents. Nous nous intéressons particulièrement à la cohomologie Quillen des opérades simpliciales et dg-opérades. Il existe une construction naturelle de la infinie-catégorie de flèches torsadées d’un opérade simpliciale, qui étend la notion de infinie-catégorie de flèches torsadées d’une infinie-catégorie. Nous affirmons que le complexe cotangent d’un opérade simpliciale peut être représenté comme un foncteur valorisé en spectres sur sa catégorie de flèches torsadées. En ce qui concerne le contexte des dg-opérades, la situation devient plus simple en raison de la stabilité des dg-modules. Le complexe cotangent d’un dg-opérade est en fait étroitement lié à son module des différentielles de Kähler via une séquence cofibre. En plus decela, nous prouvons l’existence d’une version opéradique pour la correspondance de Dold-Kan, puis en raison de cela nous trouvons un lien entre la cohomologie Quillen d’un opérade simpliciale et la cohomologie Quillen de son dg-opérade associé. Enfin, dans la dernière section, nous établissons la relation entre la théorie des déformations et la cohomologie de Quillen
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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