Non-linear schrödinger equation with logarithmic non-linearity
Equation de schrödinger non-linéaire avec non-linéarité logarithmique
Résumé
The topic of this thesis is the analysis of the nonlinear Schrödinger equation with logarithmic nonlinearity (logNLS).Firstly, we study the long-time behavior in defocusing regime. A universal behavior has already been observed in this context. We specify this behavior by an optimal convergence rate in Wasserstein distance (also called Kantorovich-Rubinstein). In parallel, we show that the properties of this equation allows us to obtain, via the Wigner Transform, a limit object in the semiclassical limit satisfying the the same long-time behavior. This commutation between semiclassical limit and long-time behavior is an unusual feature for a Schrödinger equation.Then, we are interested in the focusing regime, and specifically in the interactions between solitons (which are in this case Gaussian functions called Gaussons), and more generally between the explicit gaussian solutions that this equation admits. We first show that a solution to logNLS with a sum of gaussian functions which are far away from each other for initial data stays close to the sum of corresponding gaussian solutions until at least a time of order the square of the minimal distance between the Gaussian.Then, we prove the existence of multi-Gaussons and multi-gaussian (solution which behaves in large time like a sum of several gaussian solutions) with a convergence rate faster than exponential, and their uniqueness for such a convergence rate.Last, a WKB analysis is performed for this equation. The limit equations of this analysis are the isotherm Euler system, whose solution have been done thanks to the Riemann variables. We establish a new Cauchy theory by using new variables similar as the Riemann variables, corresponding to solutions of logNLS of the form [...] in a semiclassical regime, under an assumption of analycity. We also show that these variables converge in the semiclassical limit, and that the limit functions are solutions to the isothermal Euler system under its "Riemann variables" form.
Cette thèse est centrée sur l'analyse de l'équation de Schrödinger non-linéaire avec non-linéarité logarithmique (logNLS). Dans un premier temps, nous étudions le comportement en temps long en régime défocalisant, dont un comportement universel a été observé. Nous précisons ce comportement par une vitesse de convergence optimale en distance de Wasserstein (aussi appelée distance de Kantorovich-Rubinstein). Nous montrons en parallèle que les propriétés de cette équation permettent d'obtenir via la transformée de Wigner un objet limite à la limite semi-classique vérifiant également le même comportement en temps long. Cette commutation entre limite semi-classique et comportement en temps long est une caractéristique inhabituelle pour une équation de Schrödinger. Par la suite, nous nous intéressons au régime focalisant, et plus particulièrement aux interactions entre solitons (qui sont dans ce cadre des fonctions gaussiennes appelées Gaussons) et même plus généralement entre les solutions gaussiennes explicites que cette équation admet. Nous montrons d'abord qu'une solution de logNLS ayant pour donnée initiale une somme de gaussiennes éloignées entre elles reste proche de la somme des solutions gaussiennes correspondantes jusqu'à un temps de l'ordre du carré de la distance minimale entre les gaussiennes. Ensuite, nous démontrons l'existence de multi-Gaussons et même de multi-gaussiennes (solution se comportant en temps grand comme une somme de solutions gaussiennes) ayant une vitesse de convergence plus rapide qu'exponentielle, ainsi que leur unicité sous cette hypothèse de vitesse de convergence. Pour finir, nous effectuons une analyse BKW de cette équation. Les équations limites de cette analyse étant le système d'Euler isotherme, dont la résolution a été faite via les variables de Riemann, nous établissons une théorie de Cauchy en utilisant des inconnues similaires aux variables de Riemann, correspondant à des solutions de la forme [...] pour logNLS dans un cadre semi-classique, sous hypothèse d'analycité. Nous montrons en outre que ces variables convergent à la limite semiclassique, et que les fonctions limites sont solutions du système d'Euler isotherme sous la forme "variables de Riemann".
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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