Cette thèse est consacrée à l’étude de deux problèmes issus de la biologie et de la médecine. Le premier est motivé par une technique de contrôle biologique pour l’éradication de l’épidémie de la dengue transmise par des moustiques. Une bactérie, dont les effets chez les moustiques inhibent la transmission de ce virus, est inoculée à un certain nombre des moustiques qui sont ensuite relâchés dans l’environnement. L’évolution de cette partie de la population porteuse de la bactérie peut être décrite par une équation de réaction-diffusion. On s’intéresse particulièrement à maximiser la population totale de moustiques porteurs de cette bactérie après un certain temps. Il s’agit d’une quantité dépendant de la solution de l’équation, que l’on maximise par rapport à la donnée initiale sous certaines contraintes. L’existence et la régularité des solutions à ce problème d’optimisation, ainsi qu’une caractérisation partiale de la donnée initiale optimale sont établies grâce à l’étude des conditions d’optimalité de premier et deuxième ordre. Un algorithme numérique, inspiré de la méthode classique de montée de gradient et tirant parti des conditions d’optimalité est décrit, permettant une approximation numérique des maximas locaux de ce problème. D’autre part, un modèle décrivant la dynamique des cellules immunitaires et des bactéries pathogènes dans les tissus de l’intestin est introduit. Un système de réaction-diffusion est considéré, l’objectif étant d’expliquer les motifs inflammatoires inégaux observés chez les patients souffrant de la maladie de Crohn. Une analyse de stabilité est réalisée et des conditions menant à l’apparition d’instabilités de Turing sont énoncées; ces instabilités pouvant être interprétées comme les patterns inflammatoires. Des valeurs réalistes des paramètres, pour lesquels ce phénomène se produit, sont calculées ou extraites de la littérature existante, des simulations numériques sont également réalisées