Properties and limit of random inhomogeneous minimum spanning trees
Arbres couvrants minimums aléatoires inhomogènes, propriétés et limite
Résumé
In this thesis we study a specific type of inhomogeneous random minimum spanning trees and their related graphs. For large positive integers n, we put positive weights (wi)i≤n on the nodes of the complete graph of size n. Moreover, the weights (wi)i≤n that we consider in this thesis verify a finite third moment condition. This condition is natural given the history of those trees. Then, we give to each edge {i,j} of the complete graph an edge capacity which is an exponential random variable of parameter wiwj independently of everything else. We then build the minimum spanning tree of the complete graph with these edge capacities. In Chapter 2 we prove asymptotic properties for rank-1 inhomogeneous random graphs in the so-called barely super-critical regime. The novelty of this chapter lies in the detailed study of those graphs, and on proofs of original concentration inequalities for sampling without replacement. In Chapter 3, we use the results of Chapter 2 in order to prove that the expectation of the typical distances and of the diameter of our minimum spanning trees is of order n(1/3) when n is large. As a corollary of our work, we answer a conjecture from statistical physics regarding typical distances in a model of minimum spanning trees closely related to our model. Finally, in Chapter 4, we prove that our minimum spanning trees, seen as metric spaces and with distances rescaled by n(1/3) converge in distribution to a non-trivial compact metric space for the Gromov-Hausdorff topology.
Cette thèse porte sur un type particulier d’arbres couvrants minimums aléatoires inhomogènes, ainsi que sur les graphes sous-jacents à ces arbres. Pour n un entier positif grand, nous posons des poids (wi)i≤n strictement positifs sur les nœuds du graphe complet de taille n. De plus, les poids (wi)i≤n que nous considérerons dans cette thèse vérifient une condition particulière dite de troisième moment fini. Cette condition est naturelle au vu de l’histoire de ces arbres. Puis, à chaque arête {i,j} du graphe complet nous attribuons une capacité qui est une variable aléatoire exponentielle de paramètre wiwj indépendamment du reste. Nous construisons ensuite l’arbre couvrant minimum du graphe complet avec ces capacités. Dans le Chapitre 2 nous obtenons des propriétés asymptotiques des graphes de rang-1 inhomogènes dans la fenêtre dite à peine sur-critique. La nouveauté apportée dans ce chapitre consiste en l’étude détaillée de ces graphes inhomogènes, ainsi qu’en l’obtention de nouvelles inégalités de concentration pour les tirages sans remises. Dans le Chapitre 3, nous utilisons les résultats du Chapitre 2 afin de démontrer que l’espérence des distances typiques et du diamètre de nos arbres couvrants minimums aléatoires inhomogènes sont de l’ordre de n^(1/3) quand n est grand. Comme corollaire de notre travail, nous répondons par l’affirmative à une conjecture issue de la physique statistique concernant les distances typiques d’arbres couvrants minimums proches de ceux qu’on étudie. Finalement, dans le Chapitre 4, nous démontrons que nos arbres couvrants minimums, vus comme des espaces métriques et avec des distances renormalisées par n(1/3) convergent en loi vers un espace métrique compact non-trivial pour la topologie de Gromov-Hausdorff.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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