From rarity to typicality : the improbable journey of a large deviation
De la rareté à la typicité : le parcours improbable d'une grande déviation
Résumé
The problem of conditioning time-homogeneous Markov processes on a rare fluctuation has been studied within the framework of large deviation theory. On this basis, a new process equivalent to the conditioned process has been introduced using the generalized Doob transform: it is the “driven process”. In this thesis, we aim to generalize these results to a larger class of Markov processes. In the first part of this manuscript, we consider periodically driven Markov processes, characterized by their time-periodic generators. We are interested in conditioning these processes on observables defined through time-periodic functions. Adapting the results of the time-homogeneous case, we derive the driven process for which the typical values of our observables after a large number of periods correspond to the values used for the conditioning. In the periodic case, time-independent generators become time-periodic, matrix exponentials become time-ordered exponentials and spectral problems become first order differential equations. The driven process can be derived either using path ensemble equivalence, or from an optimization problem on large deviation functions. In the second part of this manuscript, we extend these results to the general case of nonlinear Markov processes described by time-independent Lagrangians and Hamiltonians. In this new formalism, the generalized Doob transform leading to the driven process translates into a canonical transformation on Hamiltonians. This transformation --- that we call “rectification” --- requires to investigate the nonlinear counterpart of the Perron-Frobenius theorem. This investigation led us to conjecture a classification of the solutions of a Hamilton-Jacobi equation. We conclude this part by an opening on the problem of conditioning periodically driven nonlinear processes.
Le problème du conditionnement de processus de Markov homogènes en temps sur une fluctuation rare a été étudié dans le cadre de la théorie des grandes déviations. Sur cette base, un nouveau processus équivalent au processus conditionné a été introduit en utilisant la transformée de Doob généralisée : il s'agit du « processus drivé ». Dans cette thèse, on ambitionne de généraliser ces résultats à une classe plus large de processus de Markov. Dans la première partie de ce manuscrit, on considère des processus de Markov conduits périodiquement, caractérisés par des générateurs périodiques. On veut conditionner ces processus sur des observables définies via des fonctions périodiques en temps. En adaptant les résultats du cas homogène en temps, on construit le processus drivé pour lequel les valeurs typiques de nos observables après un grand nombre de périodes correspondent aux valeurs utilisées pour le conditionnement. Dans le cas périodique, les générateurs indépendants du temps deviennent périodiques, les exponentielles de matrices deviennent des exponentielles ordonnées en temps et les problèmes spectraux deviennent des équations différentielles du premier ordre. Le processus drivé s’obtient soit en utilisant l'équivalence de probabilités de chemin, soit à partir d'un problème d'optimisation de fonctions de grandes déviations. Dans la deuxième partie de ce manuscrit, nous étendons ces résultats au cas général des processus de Markov non linéaires décrits par des lagrangiens et des hamiltoniens indépendants du temps. Dans ce nouveau formalisme, la transformée de Doob généralisée menant vers le processus drivé se traduit par une transformation canonique sur les hamiltoniens. Cette transformation --- que l’on appellera « rectification » --- nécessite d'étudier l’analogue non linéaire du théorème de Perron-Frobenius. Cette étude nous a conduits à conjecturer une classification des solutions d'une équation de Hamilton-Jacobi. Nous concluons cette partie par une ouverture sur le problème du conditionnement des processus non linéaires conduits périodiquement.
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