Preconditioning of domain decomposition methods for stochastic elliptic equations
Préconditionnement de méthodes de décomposition de domaine pour les équations elliptiques stochastiques
Résumé
This thesis presents a new numerical method to efficiently generate samples of the solution of stochastic elliptical equations with random coefficients. Particular emphasis is placed on coefficients with high variance and short correlation length.This work concerns the adaptation of some classical Domain Decomposition (DD) Methods to the sampling of stochastic problems.Classical deterministic DD methods are based on iterative approaches which require preconditioning strategies capable of maintaining a high rate of convergence when the number of subdomains increases. In our stochastic context, determining a classical preconditioner suitable for each sample can be expensive, and alternative strategies can be more efficient. Each sample amounts to solving a reduced linear system for the values of the solution at the interfaces of the subdomains, according to a finite element discretization. This reduced system is then solved by an iterative method. This thesis proposed three main contributions to efficient preconditioning, by introducing surrogates of 1) the reduced global operator, 2) the contribution of each subdomain to the reduced global operator, and 3) local preconditioners (multi-preconditioning).The first contribution focuses on the iterative Schwarz method and introduces a stochastic preconditioner consisting of a surrogate of the Schwarz system for the unknown values on the interface of the subdomains. In a preprocessing stage, a truncated Karhunen-Loève (KL) expansion of the coefficient field and a Polynomial Chaos (PC) expansion of the Schwarz system are constructed to form the stochastic preconditioner. At the sampling stage, the preconditioner of each sample is recovered thanks to the very efficient evaluation of the PC expansions. Numerical simulations on a one-dimensional problem illustrate the rapid convergence of the resulting approach, provided that the number of KL modes and the PC degree are both sufficiently large.The second contribution extends the previous idea to non-overlapping DD methods by building surrogates of the local components of the Schur complement. The structure of the Schur problem is used to exploit the local character of the DD setting. This leads to local PC expansions of Neumann-Neumann (NN) maps with a small number of local random variables to discretize the stochastic field on each subdomain. This set of local PC expansions are computed independently at a preprocessing step. Then, the PC extensions are evaluated and assembled during the sampling stage to form the preconditioner. A decomposition of the local operators is proposed to ensure that the preconditioner is symmetric and positive-definite, and therefore convergence is guaranteed almost surely.The preceding preconditioning strategy requires solving at each iteration a problem of size equal to the number of interface nodes. This can be a limitation for larger dimension problems. Thus, the third contribution concerns a totally local preconditioner: the two-level NN preconditioner. Again, we propose to use surrogates based on local PC expansions that substitute for NN maps instead of solving local preconditioning problems for each sample. Numerical experiments show that local preconditioning based on local surrogates is almost as efficient as the actual computation of NN maps for each sample.
Cette thèse présente une nouvelle méthode numérique pour générer efficacement des échantillons de la solution d'équations elliptiques stochastiques avec des coefficients aléatoires. Un accent particulier est mis sur les coefficients avec une variance élevée et des corrélation spatiales trés courtes.Ce travail concerne l'adaptation de certaines Méthodes de Décomposition de Domaine (DD) classiques à l'échantillonnage de problèmes stochastiques.Les méthodes DD déterministes classiques reposent sur des approches itératives qui nécessitent des stratégies de préconditionnement capable de maintenir un taux de convergence élevé lorsque le nombre de sous-domaines augmente. Dans notre contexte stochastique, la détermination d'un préconditionneur classique adapté à chaque échantillon peut être coûteuse, et des stratégies alternatives peuvent être plus efficaces.Chaque échantillon revient à résoudre un système linéaire réduit pour les valeurs de solution aux interfaces des sous-domaines, selon une discrétisation par éléments finis.Ce système réduit est ensuite résolu par une méthode itérative.Cette thèse proposait trois contributions principales au préconditionnement efficace, en introduisant des métamodèles de 1) l'opérateur global réduit, 2) la contribution de chaque sous-domaine à l'opérateur global réduit, et 3) les préconditionneurs locaux (multi-préconditionnement).La première contribution se concentre sur la méthode itérative de Schwarz et introduit un préconditionneur stochastique consistant en un métamodèle du système de Schwarz pour les valeurs inconnues sur la interface des sous-domains. Dans une étape de prétraitement, une série de Karhunen-Loève (KL) tronquée du champ de coefficients et une development en série de Polynomial Chaos (PC) du système de Schwarz sont calculées pour former le préconditionneur stochastique. À l'étape de l'échantillonnage, le préconditionneur de chaque échantillon est récupéré grâce à une évaluation très efficient de la serie de PC. Des simulations numériques sur un problème unidimensionnel illustrent la convergence rapide de l'approche résultante, à condition que le nombre de modes KL et le degré PC soient tous deux suffisamment importants.La deuxième contribution étend l'idée précédente aux méthodes DD en construisant les métamodèles des composantes locales du complément de Schur. La structure du problème de Schur est utilisé pour mieux exploiter le caractère local de la méthode DD. Cela conduit à séries de PC locales des applications Neumann-Neumann (NN) avec un petit nombre de variables aléatoires locales pour discrétiser le champ stochastique sur chaque sous-domaine. Ces séries de PC locaux sont calculées indépendamment à une étape de prétraitement. Ensuite, les extensions PC sont évaluées et assemblées pendant l'étape d'échantillonnage pour former le préconditionneur. Nous proposons une décomposition des opérateurs locaux pour s'assurer que le préconditionneur est symétrique et positif-défini, et donc la convergence est guarantée presque sûrement.Le strategie de préconditionnement precedent nécessite de résoudre à chaque itération un problème de taille égale au nombre de nœuds d'interface. Cela peut être une limitation pour les problèmes de dimensions plus élevées. Ainsi, la troisième contribution concerne un préconditionneur totalement local: le préconditionneur NN à deux niveaux. Encore une fois, nous proposons d'utiliser des métamodèles basés sur les séries de PC locales qui substitut les applications NN au lieu de résoudre les problèmes de préconditionnement local pour chaque échantillon. Des expériences numériques montrent que le préconditionnement local basé sur métamodèles locaux est presque aussi efficace que le calcul réel des applications NN pour chaque échantillon.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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