Spatial dynamic of interfaces in ecology : deterministic and stochastic models
Dynamique d'interfaces en écologie : modèles déterministes et stochastiques
Résumé
Traveling fronts arising from reaction diffusion equations model various phenomena observed in physics and biology. From a biological standpoint, a traveling front can be seen as the invasion of an uninhabited environment by a species. Since biological systems are finite and thus undergo demographic fluctuations, these deterministic wavefronts only represent an approximation of the population dynamics, in which we presuppose that the local density of individuals is infiniteso that the fluctuations self-average. In this sense, reaction diffusion equations can be seen as hydrodynamic limits of some individual based models. In this thesis, we investigate the long time behaviour of some finite microscopic systems modeling such front propagations and compare them to the one of their large population asymptotics.The first part of this thesis is dedicated to the study of the dynamics of a population colonising a slowly varying environment. This question has been widely studied from the PDE point of view. However, the results given by the viscosity solutions theory turn out to be biologically unsatisfactory in some situations. We thus suggest to study an individual based model for front propagation in the limit, when the scale of heterogeneity of the environment tends to infinity. In this framework, we show that the spreading speed of the population may be much slower than the speed of the front in the PDE describing the large population asymptotics of the system. This qualitative disagreement between the two behaviours is related to the so-called tail problem observed in PDE theory, due to the absence of local extinction in FKPP-type equations.In a second part, we study the impact of the type of the deterministic limit waves on the related stochastic models to explain this drastic slow-down in the particle system. Indeed, wavefronts arising from monostable reaction diffusion PDEs are classified into two types: pulled and pushed waves. It is well-known that small perturbations have a huge impact on pulled waves. In sharp contrast, pushed waves are expected to be less sensitive. Nevertheless, some recent numerical experiments have suggested the existence of a third class of waves in stochasticfronts. It is a subclass of pushed fronts very sensitive to fluctuations. In this thesis, we investigate the internal mechanisms of such fronts to explain the transition between these three regimes.
Les ondes progressives générées par les équations de réaction-diffusion peuvent modéliser divers phénomènes observés en physique et en biologie. Du point de vue de la biologie, une onde progressive peut être interprétée comme l’invasion d’un habitat par une espèce. Les systèmes biologiques étant finis et donc soumis à des fluctuations démographiques, ces fronts d’onde déterministes nereprésentent qu’une approximation de la véritable dynamique de la population, dans laquelle on postule que la densité locale d’individus est infinie de sorte que les fluctuations se compensent. En ce sens, certaines équations de réaction-diffusion peuvent être considérées comme les limites hydrodynamiques de modèles individus centrés. Dans cette thèse, nous étudions le comportementen temps long de deux systèmes microscopiques finis modélisant de telles invasions et les comparons à celui de leurs limites en grande population.La première partie de cette thèse est consacrée à l’impact d’un milieu variant lentement sur la vitesse de propagation d’une population. Cette question a déjà été étudiée dans le domaine des EDP. Cependant, dans certaines situations, les résultats obtenus par la théorie des solutions de viscosité s’avèrent inexploitables du point de vue de la biologie. Nous proposons donc de revenir à un modèle individu-centré et d’étudier son comportement limite lorsque l’échelled’hétérogénéité de l’environnement tend vers l’infini. Dans ce cadre, nous montrons que la vitesse de propagation de la population peut être beaucoup plus lente que la vitesse du front de l’EDP décrivant le comportement du système en grande population. Cette différence de comportements est liée au "problème des queues" observé en EDP, dû à l’absence d’extinction locale dans leséquations de type FKPP.Dans une seconde partie, nous étudions l’impact du type des fronts d’onde limites sur les modèles stochastiques associés pour expliquer ce net ralentissement des systèmes de particules. En effet, les fronts d’onde issus des équations de réaction-diffusion monostable sont divisés en deux types : les fronts tirés et les fronts poussés. Il est bien connu que les fluctuations ont un impact considérable sur les fronts tirés. En revanche, les ondes poussées sont supposéesêtre moins sensibles aux perturbations. Néanmoins, de récentes simulations numériques sur des équations bruitées suggère l’existence d’une troisième classe de fronts. Il s’agit d’une sous-classe de fronts poussés particulièrement sensibles aux fluctuations. Dans cette thèse, nous étudions les mécanismes internes de ces fronts pour expliquer la transition entre ces trois régimes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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