Gallai's path decomposition in planar graphs
Décomposition en chemins de Gallai dans les graphes planaires
Résumé
This thesis falls within the theoretical computer science field of graph theory, and deals with a question asked in 1968 by Tibor Gallai, still unanswered as of today. Gallai conjectured that the edges of any connected graph with n vertices can be partitioned into [(n+1)/2] paths. Although this conjecture has been tackled and partially solved over the years, the property has only been proven on very specific graph classes, which include graphs in which the vertices of even degree form a forest (Pyber, 1996), graphs of maximum degree 5 (Bonamy, Perrett, 2016) or graphs of treewidth at most 3 (Botler et al., 2018). The planar graphs are the graphs that can be embedded in the plane, or drawn without edges crossing. The class of planar graphs is well-known in graph theory and has been thoroughly studied. Botler, Jiménez and Sambinelli recently confirmed the conjecture on triangle-free planar graphs.Our result consists in a proof of the conjecture on the whole class of planar graphs. This class is significantly broader and more general than those of previous results, and in our opinion constitutes an important contribution to the study of Gallai's conjecture. More precisely, we work on a stronger variant of the conjecture, proposed by Bonamy and Perrett in 2016, which states that all connected graphs on n vertices could be decomposed into [n/2] paths, with the exception of a family of dense graphs. We confirm this conjecture in the case of planar graphs, by showing that every connected planar graph except K3 and K5- (K5 minus one edge) can be decomposed into [n/2] paths. The proof is divided into three parts: the first two show the main lemma of the proof, which restricts the structure of a hypothetical vertex-minimum counterexample to the statement, while the third part uses the main lemma to show that such a counterexample does not exist.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine informatique de la théorie des graphes, et traite d'une question posée en 1968 par Tibor Gallai, toujours sans réponse aujourd'hui. Gallai conjectura que les arêtes de tout graphe connexe à n sommets pouvaient être partitionnées en [(n+1)/2] chemins. Bien que cette conjecture fut attaquée et partiellement résolue au fil des ans, la propriété n'a été prouvée que pour des classes de graphes très spécifiques, comme les graphes dont les sommets de degré pair forment une forêt (Pyber, 1996), les graphes de degré maximum 5 (Bonamy, Perrett, 2016) ou les graphes de largeur arborescente au plus 3 (Botler et al., 2018). Les graphes planaires sont les graphes qui peuvent être plongés dans le plan, c'est-à-dire dessinés sans croisements d'arêtes. C'est une classe bien connue dans la théorie des graphes, et largement étudiée. Botler, Jiménez et Sambinelli ont récemment confirmé la conjecture dans le cas des graphes planaires sans triangles.Notre résultat consiste en une preuve de la conjecture sur la classe générale des graphes planaires. Cette classe est notablement plus générale que celles des précédents résultats, et de notre point de vue constitue une importante contribution à l'étude de la conjecture de Gallai. Plus précisément, nous travaillons sur une version plus forte de la conjecture, proposée par Bonamy et Perrett en 2016, et qui énonce que les graphes connexes à n sommets peuvent être décomposés en [n/2] chemins, à l'exception d'une famille de graphes denses. Nous confirmons cette conjecture dans le cas des graphes planaires, en démontrant que tout graphe planaire, à l'exception de K3 et de K5- (K5 moins une arête), peut être décomposé en [n/2] chemins. La preuve est divisée en trois parties : les deux premières montrent le lemme principal de la preuve, qui restreint la structure d'un contre-exemple hypothétique ayant un minimum de sommets, et la troisième partie utilise ce lemme pour montrer qu'un tel contre-exemple n'existe pas.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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