Granular Structures with Shear Interactions : Discrete Versus Nonlocal Approaches
Structures granulaires avec les interactions de cisaillement : approches discrètes et non locales
Résumé
This study is an attempt towards a better understanding of the length scale effects on the bending response of the granular beams. The current work allows to investigate the interactions between the theoretical models, granular materials and the included effective parameters. To this aim first, a unidimensional discrete granular chain resting on the Winkler foundation is considered. This problem can be considered as a simple model to rigorously study the effects of the microstructure on the static and dynamic behavior of the equivalent continuum structural model. The unidimensional granular chain consists of uniform rigid grains confined by discrete elastic interactions with both shear and rotational springs, to take into account the lateral granular contributions. The presented repetitive discrete system can be referred to elastic lattice model or discrete Cosserat chain with two independent degrees of freedom (DOF) (the transversal displacement and the rotation) for each grain with the consideration of shear interaction. Accordingly, the deformation of this granular model subjected to a uniform distributed loading, are investigated theoretically for various boundary conditions defined at the grain level. Such a discrete model permits to introduce the size effect (grain dimension) in the bending formulation of a microstructured granular beam. The length scale at which the system is probed is an important issue bridging together multi-scale behavior and heterogeneity. It is shown that for an infinite number of grains, the difference equations governed to the discrete system asymptotically converge towards the differential equations of the Bresse-Timoshenko continuum beam (neglecting the length scale) resting on Winkler foundation (also classified as a continuous Cosserat beam model). Next, a twin numerical problem is studied to compare the exact analytical results with the numerical ones simulated by the discrete element method (DEM). The natural frequencies of free vibrational granular model are analytically calculated for whatever modes. The results clarify the dependency of the beam dynamic responses to the beam length ratio. In the presence of internal (microstructural) length scales, the elastic wave propagation problem involves an interplay between wave dispersion and structural features. The wave dispersive properties of this discrete model are investigated also in the Brillouin zone. Eventually, through the continualization of the coupled difference equations system governing the discrete beam, a nonlocal elasticity Cosserat continuum model is obtained. The process of continualization consists in approaching the difference operators by differential operators applied either by the polynomial or by the rational development of initial differential operators in which a length scale appears. It is shown that both the granular model and the nonlocal beam model give very close which underlines the relevance of our approach. In the end, a two-dimensional granular model connected elastically to the lateral and diagonal neighbors, is studied. The equation of the motion of this 2D system is obtained and continualized using six material parameters. Furthermore, we investigate an efficient formulation of nonlinear micropolar continuum model based on a new contribution of the relative micro rotations. Thus, a novel relative rotation tensor is used as a measure of deformation in addition to the classical strain tensor and the wryness tensor. The consequences of the proposed micropolar model are then discussed with the aid of numerical examples. To this aim, several numerical applications of 2D plate specimens subjected to in-plane loads are considered by performing a finite element code based on a variational formulation. Some new key features of the novel model, in comparison with the classical one, are illustrated by the sensitive numerical analysis.
L’objectif de ce travail est d’obtenir une meilleure compréhension des effets d'échelle de longueur sur la réponse en flexion des poutres granulaires. Cette étude nous permet de mieux comprendre les liens entre les modèles théoriques, les matériaux granulaires et les paramètres effectifs inclus. Dans ce but on considère tout d’abord, une chaîne granulaire discrète unidimensionnelle reposant sur la fondation de Winkler. Ce problème peut être considéré comme un modèle simple pour étudier rigoureusement les effets de la microstructure sur le comportement statique et dynamique du modèle structurel continu équivalent. La chaîne granulaire unidimensionnelle est constituée de grains rigides uniformes confinés par des interactions élastiques discrètes avec des ressorts de cisaillement et de rotation, pour prendre en compte les contributions granulaires latérales. Le système discret répétitif présenté peut être appelé modèle de réseau élastique ou chaîne de Cosserat discrète avec deux degrés de liberté (DOF) indépendants pour chaque grain en tenant compte de l'interaction de cisaillement. Les déformations d'un tel modèle granulaire soumis à un chargement réparti uniforme, sont étudiées théoriquement pour différentes conditions aux limites. Un tel modèle discret permet d'introduire l'effet de taille (dimension de grain) dans la formulation de flexion d'une poutre granulaire micro-structurée. L'échelle de longueur à laquelle le système est sondé est un problème important associant comportement multi-échelle et hétérogénéité. On montre que pour un nombre infini de grains, les équations aux différences régies par le système discret convergent asymptotiquement vers les équations différentielles de la poutre continue de Bresse-Timoshenko (en négligeant l'échelle de longueur) reposant sur la fondation de Winkler (également classée comme poutre continue de Cosserat). Ensuite, un problème numérique jumeau est étudié pour comparer les résultats analytiques exacts avec ceux numériques simulés par la méthode des éléments discrets (DEM). Les fréquences naturelles d'un tel modèle granulaire sont calculées analytiquement pour tous les modes. Les résultats obtenus clarifient la dépendance des réponses dynamiques de la poutre avec sa longueur. En présence d'échelles de longueur internes (microstructurales), le problème de propagation des ondes élastiques implique une interaction entre la dispersion des ondes et les caractéristiques structurelles. Les propriétés de dispersion des vagues de ce modèle discret sont également étudiées dans la zone de Brillouin. Finalement, grâce à la continualisation du système d'équations aux différences couplées régissant l’évolution de la poutre discrète, un modèle continu de Cosserat à élasticité non locale est obtenu. Le processus de continualisation consiste à approcher les opérateurs aux différences impliqués dans les équations du système discret par des opérateurs différentiels obtenus soit par troncature polynômiale, soit par développements approchés rationnels dans lesquels apparaît une échelle de longueur. Enfin, un modèle granulaire bidimensionnel reliés élastiquement aux voisins latéraux et diagonaux, est étudié. Les équations du mouvement sont obtenues et continualisées par six paramètres de liaisons intergranulaires. De plus, nous étudions une formulation efficace d'un modèle de continuum micropolaire non linéaire basé sur une nouvelle contribution des micro-rotations relatives. Ainsi, un nouveau tenseur de rotation relative est utilisé comme mesure de déformation en plus du tenseur de déformation classique et du tenseur de torsion. Les conséquences du modèle micropolaire proposé sont ensuite discutées à l'aide d'exemples numériques. Dans ce but, plusieurs applications numériques d'éprouvettes de plaques 2D soumises à des charges dans le plan sont envisagées en réalisant un code d'éléments finis basé sur une formulation variationnelle
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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