Symmetries of partial differential equations appearing in stochastic models
Symétries d'équations aux dérivées partielles apparaissant dans des modèles stochastiques
Résumé
Numerous phenomenons in physics or financial mathematics can be modelised by stochastic processes or "pseudo-stochastic" processes (this notion will be explained in this thesis). Here the subject will be some partial differential equations (EDP) related to this type of model.In order to find solutions for these equations from trivial solutions, the determination of symmetries is efficient.In 1971, B. Kent Harrison et Frank B. Estabrook introduced a method to determine the symmetries of EDP : from a system of partial differential equations, after possibly a change of variable and/or a change of unknown, it possible to express them as the vanishing of a familly of differential forms. An isovector is defined as a vector field of all the variables the Lie derivative of which leaves the differential ideal generated by the forms invariant.These last years, several equations were studied thanks to this method and the symmetries of numerous EDP was determined. The computations in all these cases leave appear a large degree of similarity among these examples.Thus with that in mind, a general framework for the calculus of the symmetries with this method is developed. Propositions and isovectors depending on the type of EDP and some results on the Lie algebra of isovectors have been obtained.
De nombreux phénomènes peuvent être modélisés par des processus stochastiques ou des pseudo-processus (notion qui sera expliquée dans cette thèse) que ce soit en physique ou encore en mathématiques financières.On s'intéresse ici à certaines équations aux dérivées partielles (EDP) reliées à ce type de modèle.Afin de trouver des solutions à ces équations à partir de solutions triviales on peut chercher à en déterminer les symétries.En 1971, B. Kent Harrison et Frank B. Estabrook introduisent une méthode pour déterminer les symétries d'EDP : se donnant un système d'équations aux dérivées partielles après un changement de variables et/ou d'inconnues éventuel, on peut les exprimer comme l'annulation d'une famille de formes différentielles. Un isovecteur est alors défini comme un champ de vecteurs de toutes les variables préservant l'idéal différentiel engendré par les formes.Ces dernières années, plusieurs équations ont été étudiées à l'aide de cette méthode et les symétries de plusieurs EDP ont été déterminées. Les calculs effectués dans tous ces cas laissent apparaître un grand degré de similarité parmi tous ces exemples.Ainsi dans cet esprit, on a développé un cadre général pour le calcul des symétries avec cette méthode. Des propriétés des isovecteurs suivant le type d'EDP et certains résultats sur l'algèbre de Lie des isovecteurs ont pu être dégagés.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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