PROPRIETES QUALITATIVES DES MULTI-SOLITONS - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

ON QUALITATIVE PROPERTIES OF MULTI-SOLITONS

PROPRIETES QUALITATIVES DES MULTI-SOLITONS

Résumé

This thesis is devoted to the qualitative properties of the multi-solitons of three nonlinear focusing dispersive partial differential equations. The first new results concern the nonlinear Schrödinger equation (NLS). We construct smooth multi-solitons taking values in Sobolev spaces $H^s$, where $s>1$ is directly related to the regularity of the nonlinearity. We also prove conditional uniqueness for the multi-solitons of (NLS) in the stable and $L^2$-critical cases. Moreover we state a Liouville property in the neighborhood of the multi-solitons of the generalized Korteweg-de Vries equation (gKdV). It consists in a rigidity result which relies on the concept of non dispersion. In particular in the integrable cases, this concept allows us to characterize the multi-solitons. From another perspective, we study the pointwise behavior of the multi-solitons of (gKdV). Lastly we are interested in the nonlinear Klein-Gordon equation (NLKG). For the latter, we construct a $N$-parameter family of $N$-solitons with exponential decrease in time. Regarding the question of uniqueness, we classify the multi-solitons in a certain class with algebraic decay and we obtain the general classification in the case where only one solitary wave is considered.
Cette thèse est consacrée aux propriétés qualitatives des multi-solitons de trois équations aux dérivées partielles non-linéaires dispersives focalisantes. Les premiers résultats nouveaux concernent l'équation de Schrödinger non-linéaire (NLS). Nous construisons des multi-solitons réguliers, à valeurs dans des espaces de Sobolev $H^s$, où $s>1$ est directement relié à la régularité de la non-linéarité. Nous démontrons également un résultat d'unicité sous condition pour les multi-solitons de (NLS) dans les cas stable et $L^2$-critique. Par ailleurs, nous énonçons une propriété de Liouville au voisinage des multi-solitons de l'équation de Korteweg-de Vries généralisée (gKdV). Il s'agit d'un résultat de rigidité qui repose sur le concept de non-dispersion. En particulier dans les cas intégrables, ce concept permet de caractériser les multi-solitons. Dans une autre mesure, nous étudions le comportement ponctuel des multi-solitons de (gKdV). Enfin, nous nous intéressons à l'équation de Klein-Gordon non-linéaire (NLKG). Pour cette dernière, nous construisons une famille à $N$ paramètres de $N$-solitons à décroissance exponentielle en temps. En ce qui concerne la question de l'unicité, nous classifions les multi-solitons dans une certaine classe à décroissance polynomiale et obtenons la classification générale dans le cas où l'on considère une seule onde solitaire.
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Dates et versions

tel-03691446 , version 1 (31-05-2021)
tel-03691446 , version 2 (27-03-2022)
tel-03691446 , version 3 (09-06-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03691446 , version 1

Citer

Xavier Friederich. PROPRIETES QUALITATIVES DES MULTI-SOLITONS. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Strasbourg, 2021. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-03691446v1⟩
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