Graph Modular Decomposition. Theory, extension and algorithms.
Décomposition modulaire des graphes. Théorie, extension et algorithmes
Résumé
This thesis is about modular decomposition of graphs. The first part of the manuscript is devoted to theory. First it is question of set decompositions that have the same properties than modular decomposition : the partitive families, and three variations. Then are presented some graph decompositions that extend modular decomposition, using the notion of 2-modules (homogeneous pairs). This is the case for the split decomposition of Cunningham, and also for the new 2-joins and sesquimodules decompositions. A analog of modules for bipartites graphs,,the bimodule, leads to a decomposition theory very near the modular decomposition of directed graphs. The second part is practical and presents modular decompositions algorithms for undirected graphs, tournaments, directed graphs, interval graphs and permutation graphs. All these algorithms run in linear-time from the input : O(n + m) for the three first classes, O(n) for the two last classes, in the graph is coded with an interval or permutation model.
La décomposition modulaire des graphes est le sujet principal de ce mémoire, qui est divisée en deux parties. La première, théorique, commence par présenter des familles de parties d’un ensemble possédant les même propriétés que les modules d’un graphes : les familles partitives, et trois variantes. Elle se poursuit par des généralisations, aux graphes, de la décomposition modulaire : le lecteur trouvera la preuve que la famille des 2-modules est « presque » partitive, et verra exposées la décomposition en 2-joints, en sesquimodules, ainsi que la décomposition bimodulaire des graphes bipartis. Cette dernière est un parallèle presque complet dans le cas biparti des modules d’un graphe orienté usuel, et se calcule polynômialement. Enfin la seconde partie, pratique, présente des algorithmes de décomposition modulaire en O(n+m) pour le cas des graphes non-orientés, des tournois, et des graphes orientés, et en O(n) pour les graphes d’intervalles et les graphes de permutation (codés sous forme de leur modèle d’intervalles ou de permutation). Tous ces algorithmes sont linéaires en la taille de la donnée ;nles deux premiers sont plus simples que les algorithme existants et les trois derniers atteignent cette borne pour la première fois.
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