Counting and Randomising in Automata Theory
Compteurs et Aléas en Théorie des Automates
Résumé
This thesis is a contribution to the study of quantitative models of automata, and more specifically of automata with counters and probabilistic automata. They have been independently studied for decades, leading to deep theoretical insights of practical value. We investigate here two seemingly unrelated questions, the first about finite-memory determinacy for boundedness games, and the second about the value 1 problem for probabilistic automata. Some of the results are obtained by transferring techniques and ideas from one model to the other, revealing some similarities between them.
The first part of this document investigates finite-memory determinacy for boundedness games, which is motivated by, and belongs to, a research program launched ten years ago by Bojańczyk and Colcombet, aiming at understanding boundedness logics; the so-called MSO + U and cost-MSO. These two logics induce two related models of games with counters, which we call uniform and non-uniform boundedness games. We first consider non-uniform boundedness games, which appear in the study of MSO + U, and present results aiming at characterising the memory requirements of a given condition, first for special cases of boundedness conditions, and then for general conditions under topological assumptions. We then consider uniform boundedness games, which appear in the study of cost-MSO. In 2010, Colcombet and Löding stated a conjecture about finite-memory determinacy for such games, that we call the LoCo conjecture. They proved that this conjecture implies the decidability of cost-MSO over infinite trees, which is the main open problem of this research program. We show that unfortunately the LoCo conjecture does not hold. On the positive side, we show a weaker statement: the LoCo conjecture holds for all thin tree arenas.
The second part of this document is about the value 1 problem for probabilistic automata. The starting point is the undecidability of this problem, which was proved in 2010 by Gimbert and Oualhadj. The aim of the results presented here is to understand to what extent is the value 1 problem decidable, by constructing an algorithm that partially solves it and arguing that it is in some sense optimal. The first step is the construction of the Markov Monoid algorithm, inspired by the notion of stabilisation monoids as introduced by Colcombet in the study of cost-MSO. We first prove that it is correct for a subclass of probabilistic automata that we define,
called leaktight automata, relying on the notion of factorisation trees as developed by Imre Simon. We then show that all subclasses for which the value 1 problem was shown to be decidable are leaktight, implying that this algorithm is so far the best known algorithm. The second step aims at better understanding the Markov Monoid algorithm, using a new framework that we introduce, called the prostochastic theory. The prostochastic theory is a topological approach for probabilistic automata inspired by the profinite theory as developed by Almeida, Pin, Weil and others for classical automata, and used by Toruńczyk for the study of MSO + U. In this context, the value 1 problem reformulates at an emptiness problem, providing theoretical foundations for reasoning about the Markov Monoid algorithm. Our main result is to give a characterisation of the Markov Monoid algorithm using the prostochastic theory. It says that the Markov Monoid algorithm captures exactly all polynomial behaviours; the undecidability result shows that combining polynomial and exponential behaviours leads to undecidability. The combination of these two results supports the claim that the Markov Monoid algorithm is optimal.
Cette thèse est une contribution à l'étude des modèles quantitatifs d'automates, et plus particulièrement des automates à compteurs et des automates probabilistes. Ils ont été étudiés indépendamment pendant des décennies, menant à de profondes connaissances théoriques de valeur pratique. Nous étudions ici deux questions apparemment sans rapport, la première concernant la déterminité en mémoire finie pour les jeux à limites, et la seconde concernant le problème de la valeur 1 pour les automates probabilistes. Certains des résultats sont obtenus en transférant des techniques et des idées d'un modèle à l'autre, révélant ainsi certaines similitudes entre eux.
La première partie de ce document étudie la déterminité en mémoire finie pour les jeux à limites, ce qui est motivé par, et fait partie d'un programme de recherche lancé il y a dix ans par Bojańczyk et Colcombet, visant à comprendre les logiques à limites ; les logiques dites MSO + U et cost-MSO. Ces deux logiques induisent deux modèles apparentés de jeux avec compteurs, que nous appelons jeux à délimitation uniforme et non uniforme. Nous considérons d'abord les jeux à limites non uniformes, qui apparaissent dans l'étude de MSO + U, et nous présentons des résultats visant à caractériser les exigences de mémoire d'une condition donnée, d'abord pour des cas particuliers de conditions de limites, puis pour des conditions générales sous des hypothèses topologiques. Nous considérons ensuite les jeux de délimitation uniforme, qui apparaissent dans l'étude de cost-MSO. En 2010, Colcombet et Löding ont énoncé une conjecture sur la déterminabilité en mémoire finie pour de tels jeux, que nous appelons la conjecture LoCo. Ils ont prouvé que cette conjecture implique la décidabilité de cost-MSO sur des arbres infinis, ce qui est le principal problème ouvert de ce programme de recherche. Nous montrons que malheureusement la conjecture LoCo ne tient pas. Du côté positif, nous montrons une affirmation plus faible : la conjecture LoCo tient pour toutes les arènes d'arbres minces.
La deuxième partie de ce document traite du problème de la valeur 1 pour les automates probabilistes. Le point de départ est l'indécidabilité de ce problème, qui a été prouvé en 2010 par Gimbert et Oualhadj. Le but des résultats présentés ici est de comprendre dans quelle mesure le problème de la valeur 1 est décidable, en construisant un algorithme qui le résout partiellement et en argumentant qu'il est en quelque sorte optimal. La première étape est la construction de l'algorithme du monoïde de Markov, inspiré par la notion de monoïdes de stabilisation introduite par Colcombet dans l'étude de cost-MSO. Nous prouvons d'abord qu'il est correct pour une sous-classe d'automates probabilistes que nous définissons, appelés automates étanches, en s'appuyant sur la notion d'arbres de factorisation développée par Imre Simon. Nous montrons ensuite que toutes les sous-classes pour lesquelles le problème de la valeur 1 s'est révélé décidable sont étanches, ce qui implique que cet algorithme est à ce jour le meilleur algorithme connu. La deuxième étape vise à mieux comprendre l'algorithme du monoïde de Markov, en utilisant un nouveau cadre que nous introduisons, appelé la théorie prostochastique. La théorie prostochastique est une approche topologique pour les automates probabilistes inspirée de la théorie profinie telle que développée par Almeida, Pin, Weil et d'autres pour les automates classiques, et utilisée par Toruńczyk pour l'étude de MSO + U. Dans ce contexte, le problème de la valeur 1 se reformule en le problème du vide, fournissant des bases théoriques pour raisonner sur l'algorithme du monoïde de Markov. Notre résultat principal est de donner une caractérisation de l'algorithme du monoïde de Markov en utilisant la théorie prostochastique. Il indique que l'algorithme du monoïde de Markov capture exactement tous les comportements polynomiaux ; le résultat d'indécidabilité montre que la combinaison de comportements polynomiaux et exponentiels conduit à l'indécidabilité. La combinaison de ces deux résultats soutient l'affirmation selon laquelle l'algorithme du monoïde de Markov est optimal.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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