Cox ring of varieties with group action
Anneau de Cox de variétés avec action de groupe
Résumé
The Cox ring of an algebraic variety (satisfying some natural conditions) is a very rich invariant. It was introduced by Cox in 1995 for the study of toric varieties, and then generalized to normal varieties by Arzhantsev, Berchtold and Hausen. Later, Hu and Keel discovered that the normal varieties with a finitely generated Cox ring define a class of varieties whose birational geometry is particularly well understood. They called them the Mori Dream Spaces (MDS) by virtue of their good behaviour with respect to the minimal model program of Mori. A first problem is to find natural conditions for a normal variety to be an MDS. A second one is to describe the Cox ring of a given MDS: find a presentation by generators and relations, give the nature of its singularities, etc...Among algebraic varieties equipped with an action of an (affine) algebraic group, a particularly well understood class consists of normal varieties of complexity at most one: a connected reductive group is acting in such a way that the minimal codimension of an orbit of a Borel subgroup is at most one. The normal varieties of complexity zero are the spherical varieties (e.g. a toric variety is spherical). In 2007, Brion proved that spherical varieties are MDS, and gave a description of their Cox ring by generators and relations. A normal variety of complexity one is an MDS if and only if it is a rational variety (e.g. a normal rational surface with an effective action of the multiplicative group or a normal SL2-threefold with a dense orbit). This provides a natural class of MDS with group action for which the second problem has only been solved in very particular cases.In this thesis we begin by defining the equivariant Cox ring of a normal variety equipped with an action of an algebraic group. We study its general properties and relate it to the ordinary Cox ring. We then build on this preliminary work to study various aspects of the Cox ring of a normal rational variety of complexity one. Notably, we obtain a finiteness result for the iteration of Cox rings and we characterize the log terminality of singularities. Then, we study in detail a class of examples: the Cox rings of the SL2-threefolds which are almost homogeneous (i.e. normal and having a dense orbit). Extending the results obtained on these examples, we give a presentation by generators and relations of the Cox ring of an almost homogeneous variety of complexity one. To obtain this last result, we introduce and study an interesting class of equivariant completions of certain complexity one homogeneous spaces.
L'anneau de Cox d'une variété algébrique (satisfaisant des conditions naturelles) est un invariant très riche. Il est introduit par Cox en 1995 pour l'étude des variétés toriques, puis généralisé aux variétés normales par Arzhantsev, Berchtold et Hausen. Plus tard, Hu et Keel découvrent que les variétés normales dont l'anneau de Cox est de type fini définissent une classe de variétés dont la géométrie birationnelle est particulièrement bien comprise. Ils les nomment les Mori Dream Spaces (MDS), du fait de leur bon comportement vis-à-vis du programme de Mori. Un premier problème est alors de trouver des conditions naturelles pour qu'une variété normale soit un MDS. Un second est de décrire l'anneau de Cox d'un MDS donné: trouver une présentation par générateurs et relations, donner la nature de ses singularités, etc...Parmi les variétés algébriques munies d'une action d'un groupe algébrique (affine), une classe particulièrement bien comprise est constituée des variétés normales de complexité au plus un : un groupe réductif connexe agit de telle sorte que la codimension minimale d'une orbite d'un sous-groupe de Borel est au plus un. Le variétés normales de complexité zéro sont dites sphériques (par exemple une variété torique est sphérique). En 2007, Brion montre que les variétés sphériques sont des MDS et donne une description par générateurs et relations de leur anneau de Cox. Une variété normale de complexité un est un MDS si et seulement si c'est une variété rationnelle (par exemple une surface normale rationnelle sur laquelle le groupe multiplicatif agit effectivement, ou encore une variété normale de dimension trois sur laquelle SL2 agit avec une orbite dense). Cela définit une classe naturelle de MDS avec action de groupe pour laquelle le second problème n'a été étudié que dans des cas très particuliers.Dans cette thèse, on commence par définir l'anneau de Cox équivariant d'une variété normale munie d'une action d'un groupe algébrique. Puis, on étudie ses propriétés générales et on le relie à l'anneau de Cox ordinaire. On s'appuie alors sur ce travail préliminaire pour étudier différents aspects de l'anneau de Cox d'une variété normale rationnelle de complexité un. On obtient en particulier un résultat de finitude pour l'itération des anneaux de Cox, ainsi qu'une caractérisation de la log terminalité des singularités. On étudie en détail une classe d'exemples: les anneaux de Cox de variétés de dimension trois presque homogènes sous SL2 (c.à.d. normales et admettant une orbite dense). Prolongeant les résultat obtenus sur ces exemples, on donne une présentation par générateurs et relations de l'anneau de Cox d'une variété presque homogène de complexité un. Pour obtenir ce dernier résultat, on introduit et étudie une classe intéressante de complétions équivariantes de certains espaces homogènes de complexité un.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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