Growth dynamics of large networks using hidden Markov chains
Dynamique de croissance de grands réseaux à l’aide de chaînes de Markov cachées
Résumé
The first part of this thesis aims at introducing new models of random graphs that account for the temporal evolution of networks. More precisely, we focus on growth models where at each instant a new node is added to the existing graph. We attribute to this new entrant properties that characterize its connectivity to the rest of the network and these properties depend only on the previously introduced node. Our random graph models are thus governed by a latent Markovian dynamic characterizing the sequence of nodes in the graph. We are particularly interested in the Stochastic Block Model and in Random Geometric Graphs for which we propose algorithms to estimate the unknown parameters or functions defining the model. We then show how these estimates allow us to solve link prediction or collaborative filtering problems in networks.The theoretical analysis of the above-mentioned algorithms requires advanced probabilistic tools. In particular, one of our proof is relying on a concentration inequality for U-statistics in a dependent framework. Few papers have addressed this thorny question and existing works consider sets of assumptions that do not meet our needs. Therefore, the second part of this manuscript will be devoted to the proof of a concentration inequality for U-statistics of order two for uniformly ergodic Markov chains. In Chapter 5, we exploit this concentration result for U-statistics to make new contributions to three very active areas of Statistics and Machine Learning.Still motivated by link prediction problems in graphs, we study post-selection inference procedures in the framework of logistic regression with. penalty. We prove a central limit theorem under the distribution conditional on the selection event and derive asymptotically valid testing procedures and confidence intervals
La première partie de cette thèse vise à introduire de nouveaux modèles de graphes aléatoires rendant compte de l'évolution temporelle des réseaux. Plus précisément, nous nous concentrons sur des modèles de croissance où à chaque instant un nouveau noeud s'ajoute au graphe existant. Nous attribuons à ce nouvel entrant des propriétés qui caractérisent son pouvoir de connectivité au reste du réseau et celles-ci dépendent uniquement du noeud précédemment introduit. Nos modèles de graphes aléatoires sont donc régis par une dynamique markovienne latente caractérisant la séquence de noeuds du graphe. Nous nous intéresserons particulièrement au Stochastic Block Model et aux Graphes Aléatoires Géométriques pour lesquels nous proposons des algorithmes permettant d'estimer les paramètres du modèle. Nous montrons ensuite comment ce travail d'estimation nous permet de résoudre des problèmes de prédiction de lien ou de filtrage collaboratif dans les graphes.L'étude théorique des algorithmes précédemment décrits mobilisent des résultats probabilistes poussés. Nous avons notamment dû recourir à une inégalité de concentration pour les U-statistiques dans un cadre dépendant. Peu nombreux sont les travaux ayant abordé cette épineuse question et l'existant considère des jeux d'hypothèses ne répondant pas à nos besoins. Aussi, la deuxième partie de ce manuscrit sera consacrée à la preuve d'une inégalité de concentration pour les U-statistiques d'ordre deux pour des chaînes de Markov uniformément ergodique. Dans le Chapitre 5, nous exploitons notre résultat de concentration pour les U-statistiques pour apporter de nouvelles contributions à trois domaines très actifs des Statistiques et du Machine Learning.Toujours motivés par des problèmes de prédictions liens dans les graphes, nous nous intéressons dans un dernier chapitre aux procédures d'inférence post-sélection dans le cadre de la régression logistique avec pénalité. Nous prouvons un théorème central limite sous la distribution conditionnelle à l'événement de sélection et nous en déduisons des procédures de test et des intervalles de confiance asymptotiquement valides
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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