Asymptotic stablity of invasion fronts for reaction-diffusion equations
Stabilité asymptotique des fronts d'invasion dans les équations de réaction-diffusion
Résumé
In several equations such as reaction-diffusion PDE, propagating solutions called fronts, that may model the evolution of a population over time, sometimes appear. To decide which of this solutions are the stable ones is fundamental, since they attract, and thus describe, generic solutions. In this PhD, I study the asymptotic stability of monostable fronts in three distinct and explicit models, each presenting their own characteristics. We will see that the asymptotic stability of monostable fronts remains in the three following cases: when a singular term is added; when a Turing instability arise behind the front; in a hyperbolic case. The approach that is used can be qualified of dynamical, since the main argument uses a Duhamel formulation and a spectral study at linear level.
Dans les EDP de réaction-diffusion ou dans d'autres équations, on voit parfois apparaître des solutions en translation, appelées fronts, qui peuvent modéliser le déplacement d'une population au cours du temps. Savoir lesquelles de ces solutions sont stables est important, puisque elles attirent les solutions génériques, et décrivent donc leurs propriétés. Dans cette thèse, j'étudie la stabilité asymptotique de fronts monostables dans trois modèles différents, explicites, et possédant chacun leurs particularités. On verra que cette stabilité n'est pas détérioré dans les trois cas suivants : lorsqu'un terme singulier est ajouté ; lorsque une instabilité de Turing apparaît à l'arrière du front ; dans un cadre hyperbolique. L'approche utilisée peut être qualifiée de dynamique, puisque l'argument principal repose sur une formulation de Duhamel et sur une étude spectral au niveau linéaire.
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