L'objectif principal de mon travail est de construire un raffinement du cadre de Grigoriev qui enregistre les valuations des coefficients dans une solution de série de puissance afin que l'information de convergence soit codée dans les solutions tropicales. On développe une théorie des différentielles sur les semi-anneaux idempotents dans laquelle la règle de Leibniz habituelle est affaiblie en une règle de Leibniz tropicale, et on construit des algèbres différentielles tropicales libres.Une paire tropicale S=(S_1-->S_0) est un semi-anneau différentiel tropical S_1 et un homomorphisme à un semi-anneau S_0. Les coefficients des équations différentielles tropicales vivent dans S_0. Les solutions vivent dans S_1 (où elles peuvent être différenciées), mais la condition qui teste si quelque chose est une solution a lieu dans S_0. Nous pensons que S_0 enregistre le comportement au prèmier ordre des éléments de S_1. L'exemple principal d'une paire tropicale a S_1 = T[[t]], S_0 = R^2_lex U {∞} est une version de rang 2 du semi-anneau tropical, et la fonction S_1-->S_0 envoie at^n + ... dans (n,a).Nous énonçons maintenant les principaux résultats de manière informelle:Théorème AOn construit une catégorie de S-algèbres, et à un ensemble E d'équations différentielles tropicales sur S on associe un objet de cette catégorie tel que les morphismes vers une S-algèbre Z sont en bijection naturelle avec solutions de E à valeurs dans Z.Un système d'équations différentielles algébriques sur un corps K est représenté par une K-algèbre différentielle A. Pour tropicaliser A, nous avons besoin de deux données supplémentaires:- Une valuation non archimédienne sur K prenant des valeurs dans un semi-anneau idempotent S_0, et un rehaussement différentiel de la valuation, qui est une application A-->S_1 qui commute avec le différentiels.- Un système de générateurs x_i in A tel que A soit présenté comme un quotient d'une algèbre de Ritt K{x_1,...,x_n} -->> A. Toute algèbre différentielle A admet une présentation universelle K{x_a|a in A}-->>A. Tropicalisant cette présentation, on retrouve :Théorème BLa tropicalisation de A par rapport à sa présentation universelle est la colimite de ses tropicalisations par rapport aux présentations finies. Enfin, nous fournissons des preuves de la pertinence de nos définitions et de notre contexte en prouvant un analogue différentiel du théorème du limite inverse de Payne. Rappelons que, étant donnée une algèbre A sur un corps non archimédien K, l'ensemble sous-jacent de l'analytification de Berkovich de Spec A est l'ensemble de toutes les seminormes multiplicatives sur A qui sont compatibles avec la valuation sur K. Supposons maintenant que K soit un anneau différentiel, la valuation v sur K a un rehaussement différentielle v' prenant des valeurs dans une paire tropicale S, et A est un algèbre différentielle sur K. Dans ce cadre, étant donné une S-algèbre Z=(Z_1-->Z_0), nous pouvons considérer l'ensemble de toutes les paires (w,w') où w: A-->T_0 est une valuation multiplicative sur A compatible avec v et w': A-->T_1 est une rehaussement différentielle de w compatible avec v'. Nous appelons cela l'espace différentiel de Berkovich de A à valeur en Z, noté Berk_{Z}(A).Théorème CIl existe une valuation universelle avec un rehaussement différentiel sur A, que prend des valeurs dans la tropicalisation de la présentation universelle de A. Donc cette tropicalization coreprésente le foncteur Z-->Berk_{Z}(A).En combinant cela avec le théorème B, nous obtenons immédiatement notre analogue différentiel du théorème limite inverse de Payne.Corollaire ASoit K un anneau différentiel avec une valuation non archimédienne et un enhaussement différentiel prenant des valeurs dans S, soit A une algèbre différentielle sur un K, et Z soit une S-algèbre. L'ensemble Berk_{Z}(A) est isomorphe à la limite inverse des ensembles de solutions à valeur Z des tropicalisations de toutes les présentations finies de A.