Reduced basis method for parameter-dependent linear equations. Application to time-harmonic problems in electromagnetism and in aeroacoustics
Méthode de base réduite pour des problèmes linéaires dépendants de paramètres. Application aux problèmes harmoniques en électromagnétisme et en aéroacoustique
Résumé
Many engineering applications require the solutions of a partial differential equation (PDE) for a vast set of parameter configurations. Despite the use of efficient numerical methods and algorithms to solve the PDE, the computational costs associated with repeated solves for different parameter configurations can be prohibitive. In this thesis, we explore the use of the reduced basis method (RBM) to accelerate parametric simulation campaigns with linear PDEs. The first part of this thesis is mainly focused on error estimation strategies. We propose an easy-to-implement heuristic method for problems with smooth and slow-varying inf-sup stability constants. For close-to-degenerate and potentially resonant problems, we introduce a rigorous error estimator based on the dual natural-norm of the residual. We generalize the error estimation approach to problems with multiple sources and derive a block version of the RBM. The second part of this thesis is mostly concerned with applications of the RBM to frequency-parametrized time-harmonic Maxwell’s equations in electromagnetism and impedance-parametrized time-harmonic linearized Euler equations in aeroacoustics. We propose a non-intrusive RBM specifically tailored for frequency-sweeps with surface integral equations discretized with the boundary element method. Numerical illustrations confirm the benefits of the RBM, in particular when applied to real-world industrial problems.
De nombreuses applications en sciences appliquées nécessitent la résolution successive d’une équation aux dérivées partielles (EDP) pour un vaste ensemble de valeurs de paramètres. Malgré la mise en œuvre de méthodes numériques et d’algorithmes efficaces pour résoudre l’EDP, les coûts de calcul associés à de nombreuses résolutions successives pour des paramètres différents peuvent être prohibitifs. Dans cette thèse, nous considérons la méthode de base réduite pour accélérer les campagnes de résolution paramétrique des EDPs linéaires. Dans la première partie de la thèse, nous nous focalisons sur la problématique d’estimation d’erreur. Nous proposons une méthode heuristique d’estimation d’erreur facile à implémenter et pertinente pour des problèmes caractérisés par une constante de stabilité infsup régulière et peu dépendante des paramètres. Pour les problèmes potentiellement résonants, nous introduisons un estimateur d’erreur rigoureux, basé sur la norme naturelle duale du résidu. Nous généralisons l’estimation d’erreur au cas des problèmes multi-sources et dérivons une version block de la méthode de base réduite. Dans la deuxième partie de la thèse, nous nous intéressons aux applications de la méthode aux équations de Maxwell harmoniques en contexte multi-fréquences et aux équations d’Euler linéarisées harmoniques en contexte multi-impédance. Pour les problèmes multi-fréquences en diffraction électromagnétique résolus par des équations intégrales de surface discrétisées par la méthode des éléments de frontière, nous proposons une version non-intrusive originale de la méthode de base réduite. Des exemples numériques illustrent l’intérêt de la méthode, en particulier pour des problèmes de taille industrielle.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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