Moduli spaces of quasitrivial sheaves on the three dimensional projective space

Douglas Guimaraes

Résumé

Let M(r,c_1,c_3,c_3) denote the Gieseker--Maruyama moduli space of semistable rank r sheaves on P^3 with the first, second and third Chern classes equal to c_1, c_2 and c_3, respectively. Maruyama proved that the space M(r,c_1,c_3,c_3) is a projective scheme. However, the geometry of such a scheme remains largely unknown, despite the efforts of many authors in the past four decades, and questions about connectedness, irreducibility, the number of irreducible components, and so on, remain open.When r=1 and c_1=0 (which can always be achieved after twisting by an appropriate line bundle), one gets that M(1,0,c_2,c_3) is isomorphic to the Hilbert scheme Hilb^{d,g}(P^3) of 1-dimensional schemes of degree d=-c_2 and genus g=c_3-2c_2, which is known to always be connected. Not much is known in general when r>1, though:- M(2,c_1,c_2,c_3) is irreducible for c_3=c_2^2-c_2+2 when c_1=0, or c_3=c_2^2 when c_1=-1;- M(2,0,2,c_3) has 2 irreducible components when c_3=2 and it has 3 irreducible components when c_3=0.- M(2,-1,2,c_3) has 2 irreducible components when c_3=2 and it has 4 irreducible components when c_3=0.Moreover, the moduli spaces in items (2) and (3) are connected. For higher values of c_2, one can check that the number of irreducible components of M(2,c_1,c_2,0) grows with c_2; it is not known whether M(2,c_1,c_2,c_3) is always connected.The goal of this work is to explore a somewhat exotic case, namelyM(r,0,0,-2n)=:N(r,n),whose points correspond to quasitrivial rank r sheaves, that is, semistable rank r sheaves E on P^3 such that E**=O^r and dim(E**/E)=0; this nomenclature is borrowed from Artamkin. The motivation comes from its close relationship, described in the body of the paper, between N(r,n) and the Hilbert and Quot schemes of points in P^3. Moreover, even though the main focus of this work is the moduli space of semistable quasitrivial sheaves, we also provide some results regarding mu-semistable quasitrivial sheaves.First, we study mu-semistable sheaves E on P^d with rk(E)>0 and c_1(E)=c_2(E)=0, and show that they are always extensions of ideal sheaves of subschemes of P^d of codimension at least 3. In addition, we prove that the moduli space of such sheaves is a GIT quotient of a Quot scheme, where the Hilbert polynomial have degree less than or equal to d-3.We then focus on the case d=3, for which we can get more concrete and precise results. Here is the main result of this work.- N(r,n) is empty whenever r>n or n<0.- N(n,n) is isomorphic to Sym^n(P^3).- If r

Soit M(r,c_1,c_3,c_3) l'espace des modules de Gieseker--Maruyama des faisceaux de rang r semistable sur P^3 avec les première, deuxième et troisième classes de Chern égales à c_1, c_2 et c_3, respectivement. Maruyama a prouvé dans que l'espace M(r,c_1,c_3,c_3) est un schéma projectif. Cependant, la géométrie d'un tel schéma reste largement inconnue, malgré les efforts de nombreux auteurs au cours des quatre dernières décennies, et les questions sur la connexité, l'irréductibilité, le nombre de composants irréductibles, etc., restent ouvertes.Lorsque r=1 et c_1=0 (ce qui peut toujours être obtenu après torsion par un faisceau de lignes approprié), on obtient que M(1,0,c_2,c_3) est isomorphe au schéma de Hilbert Hilb^{d,g}(P^3) de schémas à 1 dimension de degré d=-c_2 et de genre g=c_3-2c_2, qui est connu pour être toujours connecté. On ne sait pas grand-chose en général quand r>1, cependant:- M(2,c_1,c_2,c_3) est irréductible pour c_3=c_2^2-c_2+2 lorsque c_1=0, ou c_3=c_2^2 lorsque c_1=-1 , voir et les références qu'il contient;- M(2,0,2,c_3) a 2 composantes irréductibles lorsque c_3=2 et il a 3 composantes irréductibles lorsque c_3=0.- M(2,-1,2,c_3) a 2 composantes irréductibles lorsque c_3=2 et il a 4 composantes irréductibles lorsque c_3=0.De plus, les espaces de modules dans les éléments (2) et (3) sont connectés. Pour des valeurs plus élevées de c_2, on peut vérifier que le nombre de composantes irréductibles de M(2,c_1,c_2,0) croît avec c_2; on ne sait pas si M(2,c_1,c_2,c_3) est toujours connecté.Le but de cet article est d'explorer un cas quelque peu exotique, à savoir M(r,0,0,-2n)=:N(r,n), dont les points correspondent au faisceaux emph{quasirivial} rang r, soit le semi-stable rang r faisceau E sur P^3 tel que E**=O^r et dim(E**/E)=0; cette nomenclature est empruntée à Artamkin. La motivation vient de sa relation étroite, décrite dans le corps de l'article, entre N(r,n) et les schémas de points de Hilbert et Quot dans P^3. De plus, même si l'objectif principal de cet article est l'espace des modules des faisceaux quasitrivaux semistables, nous fournissons également quelques résultats concernant les faisceaux quasitrivaux mu-semistables.Premièrement, nous étudions les faisceaux mu-semistables E sur P^d avec rk(E)>0 et c_1(E)=c_2(E)=0, et montrons que ce sont toujours des extensions de faisceaux idéaux de sous-schémas de P^d de codimension au moins 3. De plus, nous montrons que l'espace des modules de tels faisceaux est un quotient GIT d'un schéma de Quot.On se concentre alors sur le cas d=3, pour lequel on peut obtenir des résultats plus concrets et précis. Plus précisément, voici le résultat principal de cet article.- N(r,n) est vide chaque fois que r>n ou n<0.- N(n,n) est isomorphe à Sym^n(P^3).- Si r

Mots clés

Quot scheme Moduli space Torsion free sheaves

Espace modules Schéma Quot Faisceaux sans torsion

Domaines

Mathématiques générales [math.GM]

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