Proof Theory of Riesz Modal Logic - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2022

Proof Theory of Riesz Modal Logic

Théorie de la preuve de la Logique Modale de Riesz

Résumé

He focus of this thesis is to design a hypersequent calculus called HMR for Riesz modal logic, or equivalently, for the equational theory of modal Riesz spaces. It is part of a line of research aiming to provide a structural proof system for well–known probabilistic logics like the probabilistic µ–calculus or probabilistic Computational Tree Logic. Riesz modal logic is a real–valued modal logic, i.e., a modal logic whose terms are interpreted as real numbers instead of Booleans. If extended with fixed–point defined operators, Riesz modal logic is expressive enough to encode most of the usual probabilistic logics like the probabilistic Computational Tree Logic mentioned above. Moreover, an equational axiomatisation has been provided for Riesz modal logic: there is a set of axioms such that two terms of Riesz modal logic are equivalent, i.e., they have the same interpretations in all models, if and only if they can be proved equal using this set of axioms and the rules of equational reasoning. The goal of providing a hypersequent calculus for Riesz modal logic is to have a better– behaved proof system. The main limitation of equational reasoning is that its rules are not all analytical: it may be necessary to "guess" formulas during the construction of a derivation, which require some human ingenuity. Therefore we want to provide a proof system that is both sound and complete with regards to the axiomatisation of Riesz modal logic, while having only analytical rules, making the process of building derivations much simpler. To do so, we build upon another existing hypersequent calculus introduced for the Abelian logic. Riesz modal logic can be seen as the Abelian logic extended with a scalar multiplication (a term can be multiplied by a real scalar r ∈ R) and a modal operator. Therefore, HMR is built by extending the hypersequent calculus for the Abelian logic with new rules to deal with those new operations, and by using weighted hypersequents instead of regular hypersequents, i.e., using pairs of real numbers and Riesz modal logic terms as elementary blocks instead of just Riesz modal logic terms. We show that this new hypersequent calculus is both sound and complete with regards to the axiomatisation of Riesz modal logic. We also prove that it satisfies the CAN elimination theorem, or equivalently the CUT elimination theorem, effectively removing the only non–analytical rule. Lastly, we use this new hypersequent calculus to prove new and interesting results. Among them, we show that the equivalence problem of Riesz modal logic is decidable (i.e., there is an algorithm to decide whether or not two Riesz modal logic terms are equivalent). We also solve a problem that was previously left open regarding the axiomatisation of Riesz modal logic.
L’objectif de cette thèse est de concevoir un calcul d’hypersequents appelé HMR pour la Logique Modale de Riesz, ou de manière équivalente, pour la théorie équationnelle des espaces de Riesz modaux. Elle s’inscrit dans une ligne de recherche visant à fournir un système de preuve structurelle pour des logiques probabilistes bien connues comme le µ–calcul probabiliste ou la logique probabiliste du temps arborescent (probabilistic Computational Tree Logic or pCTL). La logique modale de Riesz est une logique modale à valeurs réelles, c’est-à-dire une logique modale dont les termes sont interprétés comme des nombres réels au lieu de Booléens. Si elle est étendue avec des opérateurs de point fixes, la logique modale de Riesz est suffisamment expressive pour coder la plupart des logiques probabilistes habituelles comme la logique probabiliste du temps arborescent mentionnée ci-dessus. De plus, une axiomatisation équationnelle a été fournie pour la logique modale de Riesz : il existe un ensemble d’axiomes tels que deux termes de la logique modale de Riesz sont équivalents, c’est-à-dire qu’ils ont les mêmes interprétations dans tous les modèles, si et seulement s’ils peuvent être prouvés égaux en utilisant cet ensemble d’axiomes et les règles du raisonnement équationnel. Le but de fournir un calcul d’hypersequents pour la logique modale de Riesz est d’avoir un système de preuve ayant certaines propriétés intéressantes. La principale limite du raisonnement équationnel est que ses règles ne sont pas toutes analytiques : il peut être nécessaire de « deviner » des formules lors de la construction d’une dérivation, ce qui demande une certaine ingéniosité humaine. Par conséquent, nous voulons fournir un système de preuve à la fois correct et complet en ce qui concerne l’axiomatisation de la logique modale de Riesz, tout en n’ayant que des règles analytiques, ce qui rend le processus de construction des dérivations beaucoup plus simple. Pour ce faire, nous nous appuyons sur un autre calcul d’hypersequents existant introduit pour la logique Abélienne. La logique modale de Riesz peut être vue comme la logique Abélienne étendue avec une multiplication par un nombre réel (un terme peut être multiplié par un nombre réel r ∈ R) et un opérateur modal ♢. Par conséquent, HMR est construit en étendant le calcul d’hypersequents pour la logique Abélienne avec de nouvelles règles pour traiter ces nouvelles opérations, et en utilisant des hypersequents pondérés au lieu des hypersequents habituels, c’està-dire en utilisant des paires de nombres réels et des termes de la logique modale de Riesz comme blocs élémentaires au lieu de simples termes de la logique modale de Riesz. Nous montrons que ce nouveau calcul d’hypersequents est à la fois correct et complet en ce qui concerne l’axiomatisation de la logique modale de Riesz. Nous prouvons également qu’il satisfait le théorème d’élimination de la règle CAN, ou de manière équivalente le théorème d’élimination de la règle CUT, supprimant la seule règle non analytique. Enfin, nous utilisons ce nouveau calcul d’hypersequents pour prouver des résultats nouveaux et intéressants. Parmi eux, nous montrons que le problème d’équivalence de la logique modale de Riesz est décidable (c’est-à-dire qu’il existe un algorithme pour décider si oui ou non deux termes de la logique modale de Riesz sont équivalents). Nous résolvons également un problème précédemment laissé ouvert concernant l’axiomatisation de la logique modale de Riesz.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03886259 , version 1 (06-12-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03886259 , version 1

Citer

Christophe Lucas. Proof Theory of Riesz Modal Logic. General Mathematics [math.GM]. Ecole normale supérieure de lyon - ENS LYON, 2022. English. ⟨NNT : 2022ENSL0009⟩. ⟨tel-03886259⟩
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