Domination problems and partitions of graphs : complexity, structure, criticality
Problèmes de domination et partitionnement de graphes : complexité, structure, criticité
Résumé
This thesis relates to the study of some problems and questions arising from graph theory and algorithmic theory. The first part is devoted to the study of the minimum dominating set. We consider its decision problem and show that the domination number is computable in polynomial time for graphs with no induced claw and no induced path of length at most height. Then, we focus on vertices at the intersection of every minimum dominating sets of a graph. We show that for certain classes of graphs, these vertices are always critical relatively to the domination number. The first part ends with the study of critical edges, that is, edges which removal increase the domination number. We show first an optimal bound on the minimum cardinality of a critical set of edges for chordal graphs. Then, we show that it is difficult to decide if there is a critical edge in subclasses of planar graphs. The last part deals with partitions of the vertices of the graph. Given a graph and a partition of its vertices, we introduce a satisfaction criteria for each vertex, which is the ratio between the number of its neighbors in its community and the total number of its neighbors. We give the following problem: what is the maximum ratio a/b such that a graph has a partition where each vertex has a satisfaction of at least a/b? We study lower bounds of this optimal satisfaction criteria for some classes of graphs. We also show that this problem is related to the matching-cut problem in regular graphs. For this reason, we pursue this thesis with the study of the perfect matching-cut problem. It consists in deciding if a graph has a perfect matching that contains a cut. We give complexity results, notably in graph classes that are planar; with fixed degree; that are bipartite; with a fixed diameter d; that are claw-free; that are P5-free.
Cette thèse porte sur des problèmes et des questions de la théorie et de l'algorithmique de graphe. La première partie concerne l'étude de l'ensemble dominant minimum. Nous considérons son problème de décision et montrons que le nombre de domination peut être déterminé en temps polynomial dans la classe des graphes sans griffe et sans chemin induit de taille au plus huit. Ensuite, nous étudions les sommets à l'intersection de tous les ensembles dominants minimums d'un graphe. Nous montrons notamment que pour certaines classes de graphes, ces sommets sont toujours critiques relativement au nombre de domination. Nous finissons cette partie sur l'étude des arêtes critiques, textit{i.e.} les arêtes dont la suppression fait varier le nombre de domination. Nous montrons dans un premier temps une borne optimale sur la cardinalité minimum d'un ensemble d'arêtes critiques dans les graphes triangulés. Dans un second temps, nous montrons qu'il est difficile de décider si il existe une arête critique dans des sous classes des graphes planaires. La seconde partie porte sur des problèmes de partitionnement des sommets du graphe. 'Etant donné une partition des sommets, nous introduisons une mesure de satisfaction pour chaque sommet, qui est le rapport entre son nombre de voisins dans sa communauté et le nombre total de ses voisins. Nous posons ensuite le problème suivant: quel est le ratio maximum a/b tel qu'un graphe possède une partition o`u chaque sommet à une satisfaction d'au moins a/b ? Nous étudions les valeurs minimums que ce critère de satisfaction peut atteindre dans différentes classes de graphes. Nous montrons aussi que ce problème est lié au problème du couplage-disconnectant dans les graphes réguliers. Pour cette raison nous poursuivons cette thèse sur l'étude du problème du couplage parfait-disconnectant. Celui-ci consiste à décider si un graphe possède une couplage parfait qui contient une coupe. Nous montrons la complexité de ce problème, notamment dans des classes de graphes planaires; de degré fixé; bipartis; de diamètre au plus d; sans-griffe; sans-P_5.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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