Quantitative Stability in Quadratic Optimal Transport
Stabilité quantitative en transport optimal quadratique
Résumé
The study of the optimal transport problem allows to define metrics on spaces of probability measures that come with strong geometrical and physical interpretations. This problem and its metrics (called Wasserstein distances) have found many applications, ranging from quantum physics, fluid dynamics, optics design, economics and statistics, to machine learning. The profound physical rooting of the optimal transport problem calls for the study of its well-posedness.While the existence and uniqueness of solutions to the optimal transport problem have been extensively studied in previous works, the investigation of its stability is less advanced. General and abstract stability results ensure that optimal transport solutions change continuously with the problem data. Yet these results are hardly ever quantitative, which is problematic in applications, where the data is oten approximated. This thesis works towards closing this gap. Focusing in a Euclidean context on the quadratic optimal transport problem, we derive in a first part strong convexity estimates for the Kantorovich dual problem relying on well-known geometric and functional inequalities.We then collect in a second part quantitative stability estimates for optimal transport maps with respect to their target measure, for Wasserstein barycenters with respect to their marginals and for Schrödinger potentials with respect to the temperature parameter in semi-discrete optimal transport. These estimates all suggest natural applications in computational and statistical optimal transport. They also give new insights on the embeddability of the 2-Wasserstein space in a Hilbert space with a controlled distorsion.In a last part, we leverage this last idea in machine learning applications and propose approaches to approximately solve K-means and dictionary learning problems in the 2-Wasserstein space.
L'étude du problème de transport optimal permet de définir des métriques sur des espaces de mesures de probabilité qui ont de fortes interprétations physiques et géométriques. Ce problème et ses métriques (appelées distances de Wasserstein) ont trouvé de nombreuses applications, allant de la physique quantique, la mécanique des fluides, la conception optique, l'économie et les statistiques, à l'apprentissage automatique. Le profond ancrage physique du problème de transport optimal appelle à l'étude de son caractère bien posé.Si l'existence et l'unicité des solutions du problème de transport optimal ont été largement étudiées dans des travaux antérieurs, l'étude de sa stabilité est moins avancée. Des résultats de stabilité généraux et abstraits garantissent que les solutions de transport optimal dépendent continûment des données du problème qui les définit. Cependant, ces résultats ne sont presque jamais quantitatifs, ce qui est problématique dans les applications, où les données sont souvent disponibles de manière approximative. Cette thèse vise à combler cette lacune. En se concentrant dans un contexte euclidien sur le problème de transport optimal quadratique, nous donnons dans une première partie des estimations de la forte convexité du problème dual de Kantorovich en nous appuyant sur des inégalités géométriques et fonctionnelles bien connues.Nous rassemblons ensuite dans une deuxième partie des estimations quantitatives de la stabilité des applications de transport optimal par rapport à leur mesure cible, des barycentres de Wasserstein par rapport à leurs mesures marginales et des potentiels de Schrödinger par rapport au paramètre de température dans le transport optimal semi-discret. Ces estimations suggèrent toutes des applications naturelles en transport optimal numérique et statistique. Elles donnent également de nouvelles indications sur la plongeabilité de l'espace de Wasserstein-2 dans un espace de Hilbert avec une distorsion de la métrique contrôlée.Dans une dernière partie, nous exploitons cette dernière idée dans des applications d'apprentissage automatique et proposons des approches pour résoudre approximativement des problèmes de K-moyennes et d'apprentissage de dictionnaire dans l'espace Wasserstein-2.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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