Les inégalités fonctionnelles sont des inégalités qui encodent beaucoup d'information, tant de nature probabiliste (concentration de la mesure), qu'analytique (théorie spectrale des opérateurs) ou encore géométrique (profil isopérimétrique). L'inégalité de Poincaré en est un exemple fondamental. Dans cette thèse, nous obtenons des résultats de stabilité dans le cadre d'hypothèses de normalisation de moments, ainsi que dans le cadre de conditions de courbure-dimension. Un résultat de stabilité est une façon de quantifier la différence entre deux situations dans lesquelles les mêmes inégalités fonctionnelles sont presque vérifiées. Les résultats de stabilité obtenus dans cette thèse sont en particulier basés sur la méthode de Stein, qui est une méthode en plein développement ces dernières années, provenant du domaine des statistiques et permettant d'établir des estimations quantitatives sur des résultats de convergence. Par ailleurs, une partie de cette thèse est consacrée à l'étude des constantes optimales des inégalités de Bobkov, qui sont des inégalités fonctionnelles à caractère isopérimétrique.