Nous considérons des inégalités variationnelles écrites sous forme d'équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité non linéaires. La discrétisation de tels problèmes conduit à des systèmes discrets non linéaires et non différentiables qui peuvent être résolus en employant une méthode de linéarisation itérative de type semi-lisse. Notre objectif est de concevoir une approche de régularisation qui approxime le problème par un système d'équations non linéaires différentiables. Une application directe des méthodes classiques de type Newton est ainsi possible. Nous construisons des estimations d'erreur a posteriori qui sont à la base d'un algorithme de Newton régularisé, inexact et adaptatif, pour une solution des problèmes considérés. Dans le chapitre 1, dans un cadre discret, nous nous intéressons aux systèmes algébriques non linéaires avec des contraintes de complémentarité provenant de discrétisations numériques d'EDP avec problèmes de complémentarité. Nous produisons une approximation différentiable d'une fonction non différentiable, en reformulant les conditions de complémentarité. Le système non linéaire qui en résulte est résolu par la méthode de Newton, ainsi qu'un solveur algébrique linéaire itératif. Nous établissons une borne supérieure sur le résidu du système considéré et concevons des estimateurs d'erreur a posteriori identifiant les composantes d'erreur de régularisation, de linéarisation et algébrique. Ces ingrédients sont utilisés pour formuler des critères d'arrêt efficaces pour les solveurs non linéaires et algébriques. Avec la même méthodologie, une méthode adaptative de points intérieurs est proposée. Nous appliquons notre algorithme au système algébrique d'inégalités variationnelles décrivant le contact entre deux membranes et à un problème d'écoulement diphasique. Nous fournissons une comparaison numérique de notre approche avec une méthode de Newton semi-lisse, éventuellement combinée avec une stratégie de path-following, et une méthode non-paramétrique de points intérieurs. Dans le chapitre 2, en dimension infinie, nous considérons le problème de contact entre deux membranes. Nous utilisons une discrétisation par la méthode des volumes finis et appliquons l'approche de régularisation proposée dans le chapitre 1 pour lisser la non-différentiabilité dans les contraintes de complémentarité. La résolution du système régularisé non linéaire qui en résulte est réalisée grâce à la méthode de Newton, en combinaison avec un solveur algébrique itératif. Nous concevons des reconstructions de potentiel H1-conformes et des reconstructions de flux équilibrés discrets H(div)-conformes. Nous prouvons une borne supérieure pour l'erreur totale par la norme d'énergie et concevons des estimateurs reflétant les erreurs provenant de la discrétisation en volumes finis, du lissage de la non-différentiabilité, de la linéarisation par la méthode de Newton et du solveur algébrique, respectivement. Cela nous permet d'établir des critères d'arrêt adaptatifs pour arrêter les différents solveurs dans l'algorithme proposé et de concevoir un algorithme adaptatif pilotant ces quatre composantes. Dans le chapitre 3, nous introduisons une application à un modèle industriel d’écoulement multiphasique compositionnel avec transitions de phase en milieu poreux. Une discrétisation par la méthode des volumes finis produit un système algébrique non linéaire et non différentiable que nous résolvons en utilisant notre technique de Newton régularisé et inexacte. En suivant le processus du chapitre 1, nous construisons des estimateurs a posteriori en majorant la norme du résidu du système discret, ce qui résulte des critères adaptatifs que nous incorporons dans l'algorithme employé. Des expériences numériques confirment l'efficacité de nos estimations. En particulier, nous montrons que les algorithmes adaptatifs développés réduisent significativement le nombre global d'itérations par rapport aux méthodes existantes.