Limitation of the Complexity of Some Invariants of Subshifts by Dynamical and Structural Constraints
Limitation de la complexité de certains invariants des sous-décalages par contraintes dynamiques et structurelles
Résumé
Given a finite set of symbols and a list of rules specifying which of them can appear next to each other, one can build a -- possibly empty -- set of infinite lines of symbols in two directions obeying these rules, named configurations. A set of configurations is called a one-dimensional subshift, and it is the mathematical object at the core of symbolic dynamics. The notion of subshift can be generalized by indexing the symbols by Z² -- that is, tiling the infinite discrete plane -- or by any finitely generated group. A number of questions can be asked about subshifts, notably if there exists an algorithm able to tell which of them are empty given their rules; and for a nonempty subshift, if it contains a lot of configurations, or particularly complex ones. All of these questions give rise to conjugacy invariants: the Domino Problem, the entropy, the aperiodicity, the arithmetical complexity of the language. This thesis, divided into three mostly-independent parts, studies how all these invariants are affected by different settings, and how some constraints on subshifts can cause changes in their behavior. In the first part, we focus on topological attractors of cellular automata, which are subshifts, and find their maximal complexity in the arithmetical hierarchy. In the second part, we fix horizontal restrictions on two-dimensional subshifts, and try to know whether the Domino Problem stays undecidable and the possible entropies for their subsystems of finite type. In the third part, we extend the definition of subshifts on finitely generated groups and present three distinct construction techniques on Baumslag-Solitar groups that show how their notion of aperiodicity is sharper than the one in two dimensions.
Etant donnés un ensemble fini de symboles et une liste de règles spécifiant lesquels d'entre eux peuvent apparaître côte à côte, on peut construire un ensemble -- possiblement vide -- de lignes infinies de symboles dans les deux directions, obéissant à ces règles, appelées configurations. Un ensemble de configurations est appelé un sous-décalage unidimensionnel, et il s'agit de l'objet mathématique au coeur de la dynamique symbolique. La notion de sous-décalage peut être généralisée en indexant les symboles par Z² -- ce qui revient à paver le plan infini discret -- ou par n'importe quel groupe de type fini. De nombreuses questions peuvent être posées sur les sous-décalages, notamment s'il existe un algorithme capable de déterminer lesquels d'entre eux sont vides à partir de leurs règles ; et pour un sous-décalage non vide, s'il contient beaucoup de configurations, ou certaines particulièrement complexes. Ces questions correspondent à des invariants de conjugaison : le Problème du Domino, l'entropie, l'apériodicité, la complexité arithmétique du langage. Cette thèse, subdivisée en trois parties essentiellement indépendantes, étudie comment tous ces invariants sont affectés sous différentes conditions, et comment certaines contraintes sur les sous-décalages peuvent causer des changements dans leur comportement. Dans la première partie, nous nous intéressons aux attracteurs topologiques des automates cellulaires, qui sont des sous-décalages, et montrons quelle complexité maximale ils peuvent atteindre dans la hiérarchie arithmétique. Dans la deuxième partie, nous fixons des restrictions horizontales sur les sous-décalages bidimensionnels, et souhaitons savoir si le Problème du Domino reste indécidable et quelles sont les entropies possibles pour leurs sous-systèmes de type fini. Dans la troisième partie, nous étendons la définition de sous-décalage aux groupes de type fini, et présentons trois méthodes de constructions distinctes sur les groupes de Baumslag-Solitar, montrant que leur notion d'apériodicité est plus fine que celle qui existe en deux dimensions.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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