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Hdr Année : 2023

Contributions to the Mathematical and Numerical Analysis of Multiscale Kinetic Equations

Contributions à l'analyse mathématique et numérique d'équations cinétiques multi-échelles

Résumé

This habilitation thesis covers a large part of the research I have carried out since the end of my PhD training. This work has been essentially aimed at modeling, analyzing and simulating systems composed of a large number of interacting particles or agents. These systems can be described through the framework of collisional kinetic equations, such as the seminal Boltzmann's equation, the granular gases equations, or kinetic systems of collective behavior. Such models describes complex and sometimes vital situations in a modern, evolving world, such as pollution, traffic and disease spreading, to name but a few. To understand them mathematically, to analyze them, and to be able to solve them accurately and efficiently with numerical methods is an important modern problem. With my scientific collaborators, we have worked on three main topics that are presented in this text. The first one concerns the development of new spectral methods to calculate efficiently and with the highest possible accuracy the so-called collision operators which intervene in these models, to analyze them and to implement them efficiently. The second one concerns the understanding of the granular gas equation, a model which is still largely open and misunderstood, and in particular its hydrodynamic limits of the compressible type. The third, finally, concerns the study of asymptotic behaviors in long time and small parameters of these equations, and the development of numerical methods preserving these behaviors, the so-called AP methods.
Cette habilitation couvre une grande partie des recherches effectuées depuis mon doctorat. Les principales questions que je me suis posées concernent le champ de la modélisation, de l'analyse et des simulations numériques de systèmes composés d'un grand nombre de particules ou agents en interaction, grâce à l'utilisation d'équations cinétiques collisionnelles comme l'équation de Boltzmann, l'équation des gaz granulaires, ou des modèles cinétiques de comportement collectifs. Ces modèles décrivent de nombreuses situations complexes et vitales pour le monde moderne, comme par exemple la pollution, les transports ou les maladies. Les comprendre mathématiquement, les analyser, et savoir les résoudre numériquement de manière précise et efficace est un problème important. Avec mes collaborateurs scientifiques, nous avons donc travaillé sur trois grandes thématiques qui sont présentées dans ce texte. La première concerne le développement de nouvelles méthodes spectrales pour calculer efficacement et avec la plus grande précision possible les opérateurs dits de collision qui interviennent dans ces modèles, les analyser et les implémenter efficacement. La deuxième concerne la compréhension de l'équation des gaz granulaires, modèle encore très largement ouvert et incompris, et notamment ses limites hydrodynamiques de type compressibles. La troisième, enfin, concerne l'étude des comportements asymptotiques en temps longs et petits paramètres de ces équations, et le développement de méthodes numériques préservant ces comportements, les méthodes dites AP.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

tel-04032898 , version 1 (16-03-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04032898 , version 1

Citer

Thomas Rey. Contributions to the Mathematical and Numerical Analysis of Multiscale Kinetic Equations. Numerical Analysis [math.NA]. Université de Lille, 2023. ⟨tel-04032898⟩
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