Algebraic torus actions over characteristic zero fields
Actions de tores algébriques sur des corps de caractéristique zéro
Résumé
Over an algebraically closed field of characteristic zero, normal affine varieties endowed with an effective torus action were described by Altmann and Hausen in 2006 by a geometrico-combinatorial presentation. Using Galois descent tools, we extend this presentation to the case where the ground field is an arbitrary field of characteristic zero. In this context, the acting torus may be non split and may have non-trivial torsors, thus we need additional data to encode such varieties. We provide some situations where the generalized Altmann-Hausen presentation simplifies. For instance, if the acting torus is split, we recover mutatis mutandis the original Altmann-Hausen presentation. Finally, we focus on the real setting and on affine varieties endowed with a two-dimensional torus action. In the latter case we relate the torsor appearing in the generalized Altmann-Hausen presentation to some smooth toric Del Pezzo surface.
Les variétés affines normales munies d'une action effective d'un tore ont été décrites en 2006 par Altmann et Hausen à l'aide de données géométrico-combinatoires dans le cas où le corps de base est algébriquement clos et de caractéristique zéro. En utilisant des outils de descente galoisienne, nous étendons la présentation Altmann-Hausen des variétés affines normales munies d'une action effective d'un tore au cas où le corps de base est un corps quelconque de caractéristique zéro. Dans ce cadre, un tore n'est pas nécessairement déployé et peut de plus avoir des torseurs non triviaux. Nous avons donc besoin de données supplémentaires pour décrire de telles variétés. Nous fournissons ensuite des situations dans lesquelles la présentation Altmann-Hausen généralisée se simplifie. Ainsi, si le tore considéré est déployé, nous retrouvons mutatis mutandis la présentation Altmann-Hausen originelle. Enfin, nous nous intéressons au cas où le corps de base est R, ainsi qu'au cas d'actions de tores de dimension 2. Dans ce dernier cas, nous faisons un lien entre le torseur apparaissant dans la présentation Altmann-Hausen généralisée et certaines surfaces toriques lisses de Del Pezzo.
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