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Thèse Année : 2022

Rosenfeld’s conjecture

Conjecture de rosenfeld

Résumé

My PhD thesis is based on an interesting subject in Graph Theory: The Tournament.In 1934, Redei proved that any tournament contains a Hamiltonian directed path.In 1971, Grunbaum proved that any tournament contains any Hamiltonian antidirected path with exactly three exceptions. A circuit triangle, a regular tournament on five vertices and a Paley Tournament on seven vertices don't contain a Hamiltonian antidirected path. Rosenfeld, in 1972, inspired by the work of Grunbaum, proposed the following conjecture : Rosenfeld's Conjecture : There exists k ≥ 8 such that any tournament T of order n ≥ k contains any Hamiltonian oriented path.Alspach, Rosenfeld and Straight proved Rosenfeld's conjecture on paths of two blocks.In 1973, Forcade proved Rosenfeld's conjecture for any tournament of order 2^n.Thomason was the first one to give a general answer. He proved, in 1986, that there exists n_0≤2^128such that for all n ≥ n_0 any tournament of order n contains any Hamiltonian oriented path. He also proved that any set of b_1+1 vertices in an n-tournament contains an origin of any (n − 1)-path whose first block is of length b_1.In 2000, Havet and Thomassé gave a refinement of this key idea introduced by Thomason and proved that any tournament T of order n contains a copy of any path P of order n with only the three exceptions of Grunbaum. For x and y ∈ V (T ), they defined s^+ (x,y) = |{z ∈ V (T) such that z can be reached from x or y by a directed path}| and they proved that if s^+ (x,y) ≥ b_1+1 , then x or y is an origin of such path. This new performance allowed them to remark that proving the existence of an (n − 1)-oriented path in any n−tournament is equivalent to the existence of any Hamiltonian path P in this tournament unless (T, P ) is one of the 69 exceptions that were verified one by one. Their proof was long and complicated. Encouraged by the belief of my Professor Amin El Sahili that there exists a shorter proof of Rosenfeld's conjecture, I gave in my Master's II thesis (2019) an elementry proof of the existence of any Hamiltonian oriented path with two or three blocks in any tournaments of order n ≥ 4. In 2020, after one year of deep work, I gave two simple proofs of Rosenfeld's conjecture, without treating all exceptions studied by Havet and Thomassé. The first one was the shorter. I used a theorem stated by El Sahili-Ghazo Hanna and the number of cases I had to study was reduced to the half.In the second one, I studied the remaining cases that I didn't study in the first proof and presented another proof of Rosenfeld's Conjecture without using El Sahili-Ghazo Hanna's theorem.In the first chapter of the thesis, I introduce some definitions, notations and some properties that will be used throughout the thesis.In the second chapter, I present some results that I found in my Master's II thesis. These results concerning Rosenfeld's Conjecture in paths of two bllocks were the source of light for me to generalize my proof. Also, in Chapter 2, I proved that for any two non-negative integers a and b such that a < b, there exists a tournament T such that {d^+ (v),v ∈ V (T )} = {a,b}. This result was given by K.B. Reid.In chapter 3, I introduce my first proof of Rosenfeld's Conjecutre. Let T be a tournament of order n such that δ^- (T ) = i, and let P be a path such that P= x_1...x_n. El Sahili and Ghazo Hanna proved that P lies in T if and only if P ̅ lies in T . First, I prove the existence of P in T if (x_i,x_(i+1)) ∈ E(P ) unless T ∈ T3,5,7 and P is an antidirected path. Otherwise, since (x_i,x_(i+1)) ∈ E(P ) then T contains( P) ̅ . So, by El Sahili-Ghazo Hanna theorem, T contains P .In Chapter 4, I present my second proof of Rosenfeld's Conjecture. Given a tournament T of order n such that δ^- (T ) = i and a path P = x_1...x_n, I prove that T contains P unless T ∈ T3,5,7 and P is an antidirected path. I have to study two cases...
Ma thèse de Doctorat est basée sur un sujet très intéressant en Théorie de Graphe : Le tournoi.En 1934, Rédei a prouvé que tout tournoi contient un chemin Hamiltonien direct. En 1971, Grünbaum a prouvé que tout tournoi contient tout chemin Hamiltonien antidirect avec exactement trois exceptions. Un circuit d'ordre trois, un tournoi régulier d'ordre cinq et un tournoi de Paley d'ordre sept ne contiennent pas un chemin Hamiltonien antidirect. En 1972, Rosenfeld, inspiré par le résultat de Grünbaum, propose la conjecture suivante: Conjecture de Rosenfeld: il existe k≥ 8 tel que tout tournoi d'ordre n ≥ K contient tout chemin Hamiltonien orienté.Alspach, Rosenfeld et Straight ont prouvé la conjecture de Rosenfeld pour les chemins à deux blocs.En 1973, Forcade a prouvé la conjecture de Rosenfeld dans le cas de tournois d'ordre 2^n. Thomason était le premier à donner une réponse générale. Il a proposé, en 1986, qu'il existe n_0≤2^128, tel que, pour tout entier n ≥ no, tout tournoi d'ordre n contient tout chemin Hamiltonien orienté. Il a encore démontré que tout ensemble de b_1+1 sommets dans un n-tournoi contient un origine de tout (n-1)-chemin ayant son premier bloc de longueur b_1.En 2000, Havet et Thomassé avaient amélioré cette idée-clé introduite par Thomasonet avaient démontré que tout tournoi T d'ordre n contient tout chemin P d'ordre n avec exactement les exceptions de Grünbaum. Pour tout z et y, deux sommets de T, ils ont defini s^+ (x,y) =|{z ∈V(T)┤ tel que z peut être atteint par un chemin direct d'origine x ou y} et ils ont prouvé que si s^+ (x,y) ≥ b_1+1, alors x ou y est un origine d'un tel chemin. Cette nouvelle idée-clé leur permet de remarquer que la démonstration de l'existence d'un n-1-chemin orienté dans un n-tournoi est équivalente à l'existence de tout chemin Hamiltonien P dans ce tournoi sauf si (T. P) est l'un parmi 69 exceptions qui étaient vérifiées l'une après l'autre. Leur preuve était longue et compliquée. Encouragé par la confiance de mon Professeur Amine El Sahili de l'existence d'une preuve simple et courte de la conjecture de Rosenfeld, j'ai prouvé durant l'année 2019, dans ma thèse de Master II, d'une manière simple, que tout tournoi d'order n ≥ 4 contient tout chemin à 2 blocs ou à 3 blocs. En 2020, après une année complète de travail dur, j'ai réussi à trouver deux preuves simples de la Conjecture de Rosenfeld. La première était la plus courte. J'ai utilisé un théorème établi par El Sahili et Ghazo Hanna qui m'a permis de réduire à moitié le nombre de cas que j'avais à étudier. Dans la deuxième preuve, j'ai étudié les cas restants que je n'ai pas étudiés dans la première preuve, ce qui m'a permis de donner une autre preuve de la conjecture de Rosenfeld sans utiliser le théorème donné par El Sahili et Ghazo Hanna. Dans le chapitre 1 de cette thèse, je donne quelques définitions, notations et propriétés qui seront utilisées pour lire la thèse. Dans le chapitre 2, je présente quelques résultats que j'ai trouvé en Master II. Ces résultats donnant une simple preuve de la conjecture de Rosenfeld dans les chemins orientés à deux et trois blocs étaient la source de lumière qui m'a aidé à généraliser ma preuve. J'ai encore démontré, en chapitre 2, que pour deux entiers positifs donnés a et b tel que a
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04086656 , version 1 (02-05-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04086656 , version 1

Citer

Charbel Bou Hanna. Rosenfeld’s conjecture. Formal Languages and Automata Theory [cs.FL]. Université d'Angers; Université Libanaise. Faculté des Sciences (Beyrouth, Liban), 2022. English. ⟨NNT : 2022ANGE0058⟩. ⟨tel-04086656⟩
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