Piecewise affine dynamical systems applied to the performance evaluation of emergency call centers
Systèmes dynamiques affines par morceaux appliqués à l'évaluation de performance de centres d'appels d'urgence
Résumé
We develop mathematical methods for the performance analysis and dimensioning of emergency call centers.We use tools from the field of discrete-event dynamical systems, in particular the formalism of timed Petri nets with preselection and priority rules, to describe the handling of emergency calls by dedicated platforms. These models are characterized by piecewise affine and recursive dynamical equations which are a subclass of controlled switched systems. We show that the continuous relaxation (or fluid) approximation of these dynamics is asymptotically precise under the application of a scaling factor.We establish formal correspondence results between the dynamical analysis of monotonic timed Petri nets and the study of the value function of semi-Markov decision processes with discount factors as well as terminal and stopping costs. We obtain in this way several characterizations of the throughput vector of Petri nets, which indicate the handling rate of the organization that is modeled. We deduce practical staffing recommendations for emergency call centers.We compute analytical upper bounds on the time needed for a class of monotonic and hierarchical timed Petri nets to absorb a perturbation affecting an input by exhibiting a correspondence with stochastic shortest path problems. In the context of emergency call centers, this indicates how quickly an extra peak of calls can be treated. We also study the congestion phases of non-monotonic organizations, that is to say when priority rules come into play, and compute the minimum staffing of more complex call center layouts.In addition, we focus on tropical posynomial systems, which are an algebraical abstraction and static counterpart of our dynamical systems. We show that the resolution of these equations features geometric problems of independent interest, involving separation properties of several convex bodies.We challenge our theoretical contributions on two real-life case studies carried out in collaboration with emergency call centers in this Paris area: the four SAMU of AP-HP for medical needs and the PFAU for rescue and police requests.Our comparison is based on numerical simulations that reproduce call center operations with as few simplifications as possible.The arrival processes, service times and patience levels of callers are randomly generated on the basis of histograms derived from the data analysis of millions of calls. We show that our analytical formulas that neglect abandonment phenomena yield good polyhedral approximations of the real throughput. We also evaluate the accuracy of queueing theory estimates which are frequently applied to the sizing problem of call centers.The simulation approach allows us to compare the single-tier and the two-tier architectures of emergency call centers. We show that the latter causes fewer losses of urgent calls than the former provided that the first-level instruction is quick. The two-tier layout is also more resilient to burst of calls. We finally quantify the benefit of merging or bringing together several pools of agents.
Nous développons dans cette thèse des méthodes mathématiques pour l'évaluation de performance et le dimensionnement de centres d'appels d'urgence. Nous utilisons des outils issus de la théorie des systèmes dynamiques à événements discrets, en particulier le formalisme des réseaux de Petri avec règles de préselection ou priorité, afin de décrire le traitement d'appels d'urgence par des plateformes dédiées. Ces modèles sont gouvernés par des équations dynamiques récursives et affines par morceaux, une sous-classe des systèmes contrôlés à commutation. Nous montrons que l'approximation relâchée-continue (ou fluide) de cette dynamique est asymptotiquement précise sous une limite d'échelle.Nous établissons une correspondance entre l'analyse de la dynamique des réseaux de Petri temporisés monotones et l'étude de la fonction valeur des processus de décision semi-Markoviens escomptés avec coûts finaux et d'arrêt. Nous obtenons ainsi plusieurs caractérisations du débit des réseaux de Petri, et déduisons des recommandations pratiques de dimensionnement pour les centres d'appels d'urgence.Nous calculons des bornes explicites sur le temps de retour à la normale pour une classe de réseaux de Petri temporisés monotones et hiérarchiques, afin d'absorber la perturbation d'une consigne. Nous exploitons pour cela une correspondence avec les problèmes de plus court chemin stochastique. Dans le monde des centres d'appels, cela indique en combien de temps un pic d'appels peut-être traité. Nous étudions aussi les phases de congestion d'organisations présentant des mécanismes de priorité et nous calculons le dimensionnement minimum de centres d'appels plus complexes.De plus, nous nous intéressons aux systèmes posynomiaux tropicaux, qui sont une abstraction algébrique et le pendant statique de nos systèmes dynamiques. La résolution de ces équations fait apparaître des problèmes géométriques d'un intérêt indépendant, impliquant des conditions de séparation d'ensembles convexes.Nous évaluons nos contributions théoriques à travers deux études de cas réalisées en collaboration avec des centres d'appels d'urgence de la région parisienne, les quatre SAMU de l'AP-HP pour les appels santé, et la PFAU pour les requêtes orientées police ou secours à personne. Nous avons pour cela recours à la simulation numérique, reproduisant le fonctionnement de centres d'appels avec aussi peu d'hypothèses simplificatrices que possible.Les lois des arrivées d'appels, des temps de conversation ou des niveaux de patience des requérants sont générés aléatoirement sur la base d'histogrammes provenant de l'analyse de plusieurs millions d'appels. Nous montrons que nos formules analytiques négligeant les abandons fournissent de bonnes estimations polyédrales du débit réel. Nous étudions aussi la précision des formules de performance prédites par la théorie des files d'attente, souvent utilisée dans les problèmes de dimensionnement de centres d'appels.L'approche par simulation nous permet de comparer des architectures de centres d'appels mononiveau ou biniveau. Nous montrons que le mode biniveau cause moins d'abandons que le mononiveau pourvu que le premier niveau d'instruction soit court. L'architecture biniveau est également plus robuste aux pics d'appels. Nous quantifions enfin l'intérêt de mutualiser ou faire travailler ensemble différents groupes d'agents.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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