Enumerating decorated maps with quadrant walks
Énumération de cartes décorées et marches dans le quart de plan
Résumé
The work presented here is related to bijective and enumerative combinatorics, and more particularly to the study of planar graphs : graphs embedded in the sphere. The goal of this thesis is to give exact and asymptotic enumeration results on families of decorated maps (by a constrained coloring of its vertices or its edges, by an orientation, etc.). To achieve this, we biject the considered families with big and small steps walks, constrained to stay in the quarter plane.Our method is designed around plane bipolar orientations: planar maps decorated by an orientation of its edges, with no cycle and with only one source and one sink. We reduce the families of maps we consider to plane bipolar orientations, with possibly a decoration of the faces or a constraint on their size. These bipolar orientations are then used as a pivot object, and are then translated in the form of so-called tandem walks which remain in the quarter plane.From these tandem steps it is possible to obtain the functional equations which drive the induced generating series. By splitting these large step walks into small step walks, it is also possible to obtain algorithms in polynomial time to compute the first terms of the associated combinatorial sequences. Finally, using tools on random walks constrained to cones, we obtain asymptotic equivalents for these sequences.This work allows us to prove the conjecture (2009) of Y. Inoue, T. Takahashi and R. Fujimaki on the asymptotic behavior of transversal structures. Similar results are obtained for vertex-counted and edge-counted plane bipolar posets. For two of the considered map models, which are related to corner polyhedra representations, the process is more delicate and we only manage to give an exponential growth rate.In addition to these enumerative results, we provide a bijection between vertex-counted planar posets and plane permutations.
Le travail présenté ici s'inscrit dans le domaine de la combinatoire bijective et énumérative, et plus particulièrement dans l'étude des cartes planaires : des graphes plongés dans la sphère. L'objet de cette thèse est de démontrer des résultats d'énumération exacts et asymptotiques sur des familles de cartes décorées (par une coloration contrainte des sommets ou des arêtes, par une orientation, etc.). Pour y parvenir, nous mettons en bijections les familles considérées avec des marches à grands et petits pas, contraintes à rester dans le quart de plan.Notre méthode s'articule autour des orientations bipolaires planes : des cartes planaires décorées par une orientation des arêtes, sans cycle et avec une seule source et un seul puits. On ramène les familles de cartes que l'on considère à des orientations bipolaires planes, avec éventuellement une décoration des faces ou encore une contrainte sur leur taille. Ces orientations bipolaires nous servent alors de d'objets-pivots, et sont ensuite traduites sous la forme de marches dites tandem qui restent dans le quart de plan.À partir de ces marches tandem il est possible d'obtenir les équations fonctionnelles qui régissent les séries génératrices induites. En découpant ces marches à grands pas en marches à petits pas, on peut aussi obtenir des algorithmes en temps polynomial pour calculer les premiers termes des suites combinatoires associées. Enfin, à l'aide d'outils sur les marches aléatoires contraintes à rester dans cône, on obtient des équivalents asymptotiques de ces suites.Ce travail nous permet notamment de démontrer la conjecture (2009) de Y. Inoue, T. Takahashi et R. Fujimaki sur le comportement asymptotique des structures transverses. On obtient des résultats similaires pour les posets plans comptés par sommets ou comptés par arêtes. Pour deux des modèles de cartes considérés, et qui sont en lien avec les représentations des polyèdres en coin, le processus est plus délicat et on arrive seulement à donner un taux de croissance exponentiel.En plus de ces résultats énumératifs, on fournit une bijection entre les posets plans comptés par sommets, et les permutations planes.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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