Statistical estimation for collective dynamics
Estimation statistique pour les dynamiques collectives
Résumé
This thesis lies at the crossroads of non-parametric and parametric Statistics of processes, and parabolic partial differential equations analysis. The aim of the present work was to obtain informations about the flow of probability measures solution of a nonlinear FokkerPlanck-Kolmogorov equation, known as McKean-Vlasov equation, and about the drift coefficient of this equation, thanks to the continuous observation of the solution of a linear system of interacting diffusions as an approximation in a mean-field limit, i.e. as the number of particles in this system grows to infinity. In a first part, we present our results when the drift coefficient depends on an unknown parameter. We follow the estimation program of Ibragimov and Hasminskii : we show that our model verifies the local asymptotic normality property, and we deduce from it precise properties of convergence and asymptotic normality of the maximum likelihood estimator of the parameter. We give a new criterium for verifying that this statistical problem is non-degenerate and identifiable. In a second part, we present our results when the drift coefficient is unknown, but lies in a certain class of functions characterized by their regularity : the local Holder functions. This part relies on a new Bernstein type concentration inequality, and on nonparametric statistics tools : we build adaptive kernel estimators of the density solution of the McKean-Vlasov equation and of its drift, and we show that these estimators are optimal in a minimax sense for a pointwise risk. Finally, we construct an estimator of the interaction force in the case of a Vlasov type drift by means of a deconvolution method.
Cette thèse se situe à l’interface de la Statistique, paramétrique et non-paramétrique, des processus stochastiques, et de l’analyse des équations aux dérivées partielles paraboliques. Le fil conducteur des travaux présentés ici a été d’obtenir des informations sur le flot de mesures de probabilités, solution d’une équation de Fokker-Planck-Kolmogorov non-linéaire, dite équation de McKean-Vlasov, et sur le coefficient de drift de cette équation, à l’aide de l’observation continue de la solution du système linéaire de diffusions en interaction l’approchant en limite de champ moyen, i.e. quand le nombre de particules de ce système croît vers l’infini.Dans une première partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift dépend d’un paramètre inconnu. Nous suivons le programme d’estimation de Ibragimov et Hasminskii : nous montrons que la propriété de normalité locale asymptotique est vérifiée par ce modèle et nous en déduisons des propriétés fines de convergence et de normalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance de ce paramètre. Nous proposons un nouveau critère de vérification de la non-dégénérescence et de l’identifiabilité de ce problème statistique. Dans une deuxième partie, nous présentons les résultats obtenus quand le coefficient de drift est inconnu, mais appartient à une certaine classe de fonctions caractérisées par leur régularité : les fonctions localement höldériennes. Cette partie repose sur une nouvelle inégalité de concentration de type Bernstein, et sur des techniques de statistique non-paramétrique : nous construisons des estimateurs à noyaux adaptatifs de la densité solution de l'équation de McKean-Vlasov et de son drift à l’aide de la méthode de Goldenshluger-Lepski, et nous montrons que ces estimateurs sont optimaux au sens minimax pour un risque ponctuel. Enfin, nous construisons un estimateur de la force d’interaction dans le cas d’un drift de type Vlasov a l’aide d’une méthode de déconvolution.
Mots clés
- Mean-field limit
- Deconvolution
- Goldenshluger-Lepski’s method
- Bandwidth selection
- Kernel estimation
- Oracle inequality
- Maximum likelihood estimator
- Ibragimov-Hasminski’s program
- Local Asymptotic Normality
- Adaptive minimax estimation
- Nonlinear Fokker-Planck-Kolmogorov equation
- Nonlinear Parabolic Partial differential equation
- Concentration inequalities
- Propagation of chaos
- Interacting particle systems
- Nonparametric statistics
- Parametric statistics
- McKean-Vlasov model
- Statistics of stochastic processes
- Statistique paramétrique/non-paramétrique
- Statistique des processus aléatoires
- Modèle de McKean-Vlasov
- Systèmes de particules en interaction
- Limite de Champ moyen
- Propagation du chaos
- Inégalités de concentration
- Equation aux derivées partielles paraboliques non-linéaires
- Equation de Fokker-Planck-Kolmogorov non-linéaire
- Espaces de Hölder
- Estimation minimax adaptative
- Normalite locale asymptotique
- Programme d’Ibragimov-Hasminski
- Estimateur du maximum de vraisemblance
- Inégalités oracles
- Estimateurs à noyaux
- Sélection de fenêtres
- Méthode de Goldenshluger-Lepski
- Déconvolution
Domaines
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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| Licence |
