Stability in Hamiltonian Systems : steepness and regularity in Nekhoroshev theory
Stabilité des systèmes Hamiltoniens : escarpement et régularité dans la théorie de Nekhoroshev
Stabilità dei sistemi Hamiltoniani : proprietà di ripidità e regolarità in Teoria di Nekhoroshev
Résumé
This thesis is devoted to the study of the stability of the solutions of those Hamiltonian dynamical systems which are close to be integrable (in the sense of Arnold-Liouville). We firstly consider the genericity of functions satisfying the steepness property, a transversality condition on the gradient - introduced by Nekhoroshev - which ensures the stability over long timespans of the solutions of a smooth enough nearly-integrable system. The goal of this part is two-fold: on the one hand, we clarify the arguments of real-algebraic geometry and complex analysis that enter into the proof of the genericity of steepness; on the other hand, these techniques yield new explicit criteria that allow to check whether a given function is steep, which constitutes an important aspect in view of applications. The second axis of the thesis is centered around the construction of a fitted version of a classical result on analytic approximation: the aim in this case consists in extending to the Hölder case the classic Nekhoroshev's estimates of stability holding for generic, analytic nearly-integrable systems. Once a suitable analytic approximation is constructed, estimates are obtained in a relatively effortless way. Moreover we extend to lower regularity the most accurate Nekhoroshev's estimates available in the analytic class. The final part of this thesis investigates some aspects of the stability in infinite-time of real-analytic nearly-integrable Hamiltonian systems: namely, by making use of quantitative results of Morse-Sard's Theory, we discuss the extension to more general Hamiltonians of the existing refined results about the Lebesgue measure of the complementary set of invariant KAM tori in generic mechanical systems.
Cette thèse est consacrée à l'étude de la stabilité des solutions des systèmes Hamiltoniens presque intégrables (au sens d'Arnold-Liouville). Le premier axe porte sur la généricité de la propriété d'escarpement (steepness), une condition de transversalité sur le gradient, due à Nekhoroshev, qui assure la stabilité sur des temps très longs des solutions d'un système presque-intégrable suffisamment régulier. L'objectif dans cette partie est double : il s'agit d'une part de clarifier les méthodes de géométrie algébrique réelle et d'analyse complexe qui permettent de prouver la généricité de la propriété d'escarpement et, d'autre part, d'utiliser ces méthodes pour établir des critères explicites qui entraînent l'escarpement d'une fonction donnée, ce qui constitue un aspect important dans les applications de la théorie. Dans le deuxième axe de cette thèse, on développe une version adaptée d'arguments classiques d'approximation analytique, qui permet de généraliser à la classe de régularité Hölder les estimations de stabilité de Nekhoroshev initialement valides pour des systèmes Hamitoniens presque intégrables analytiques. Une fois qu'une approximation analytique adaptée est construite, les estimations sont déduites de manière relativement rapide: de plus, cette technique permet d'étendre à une régularité plus faible les estimations de stabilité les plus fines prouvées en classe analytique. Enfin, on s'intéresse au problème de la stabilité en temps infini des systèmes Hamiltoniens presque-intégrables analytiques: il s'agit de généraliser les résultats fins sur la mesure des tores invariants obtenus avec la théorie KAM - prouvés pour une classe générique de systèmes mécaniques - au cas de systèmes associés à des Hamiltoniens plus généraux.
Scopo di questa tesi è lo studio della stabilità delle soluzioni dei sistemi Hamiltoniani quasi integrabili (secondo Arnold-Liouville). La prima parte verte sulla genericità della pro-prietà di ripidità (steepness) : si tratta di una condizione di trasversalità sul gradiente, intro-dotta da Nekhoroshev, che garantisce la sta-bilità su tempi molto lunghi delle soluzioni di un sistema quasi integrabile su°cientemente regolare. L’obiettivo di questa prima sezione è duplice : da un lato vengono chiariti gli argo-menti di geometria algebrica reale e di analisi complessa che permettono di provare la ge-nericità della ripidità e, dall’altro, si utilizzano questi metodi per stabilire dei criteri espliciti che permettano di veri˝care la ripidità di una funzione data, un punto importante in vista di possibili applicazioni. La seconda parte della tesi riguarda l’estensione non triviale di alcuni risultati classici di approssimazione analitica : l’obiettivo è quello di generalizzare alla classe di regolarità Hölder le stime di stabilità di Nekho-roshev valide per sistemi Hamiltoniani quasi in-tegrabili di classe analitica. Una volta ottenuti dei risultati di approssimazione analitica adatti, le stime di Nekhoroshev vengono dedotte in maniera relativamente rapida ; inoltre, tale tec-nica permette di estendere i risultati più ˝ni sulla stabilità dei sistemi quasi integrabili ana-litici a sistemi di regolarità più debole. In˝ne, nell’ultima parte viene esplorato il problema della stabilità in tempi in˝niti dei sistemi Hamil-toniani quasi integrabili analitici : si tratta di ge-neralizzare i risultati sulla misura dell’insieme complementare dei tori KAM invarianti - dimos-trati nel caso di sistemi meccanici generici - a classi più ampie di sistemi quasi integrabili.
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