Links between geometry and the dynamics of Julia sets
Liens entre la géométrie et la dynamique des ensembles de Julia
Résumé
The problems attacked in this thesis are questions of equivalence between geometric and dynamic conditions in the iteration of rational functions on the Riemann sphere. Such ideas were recently explorad by Carleson, Jones and Yoccoz in their article “Julia and John”, and this thesis expands on these ideas in two directions.
First, generalisations of the semi-hyperbolicity and John conditions are explored. More precisely, Holder and ospike conditions are defined, and some of their properties are established. In parallel, first the Collet-Eckmann, and then more generally, conditions of expansion of the derivative along the critical orbit are studied, along with expansion conditions on Fatou domains. Using known properties of conformal maps, exact relations are derived be tween these properties; some equivalences are conjectured, but only partly proven, along with some additional results which strengten the conjectures. Finally, a precise relation between the Collet-Eckmann condition, an expan sion condition on the whole Julia set, and the Holder condition is proved. This theorem is inspired by a similar one in one-dimensional real dynamics.
Secondly, a remark of Carleson, Jones and Yoccoz is proved: in the semi- hyperbolic case, there exists an admissible metric on the Julia set such that the dynamics are expanding for that metric. In fact, this metric is explicitly constructed in the proof. Also, an admissible metric is defined in a very general setting, and certain interesting properties, both positive and negative, of these metrics are proved.
Les problèmes abordés dans cette thèse sont des questions d'équivalence entre les conditions géométriques et dynamiques dans l'itération des fonctions rationnelles sur la sphère de Riemann. De telles idées ont été récemment explorées par Carleson, Jones et Yoccoz dans leur article "Julia and John", et cette thèse développe ces idées dans deux directions.
Premièrement, des généralisations des conditions de semi-hyperbolicité et de John sont explorées. Plus précisément, les conditions de Holder et d'ospike sont définies, et certaines de leurs propriétés sont établies. Parallèlement, on étudie d'abord les conditions de Collet-Eckmann, puis plus généralement les conditions d'expansion de la dérivée le long de l'orbite critique, ainsi que les conditions d'expansion sur les domaines de Fatou. En utilisant les propriétés connues des cartes conformes, des relations exactes sont dérivées entre ces propriétés ; certaines équivalences sont conjecturées, mais seulement partiellement prouvées, avec quelques résultats supplémentaires qui renforcent les conjectures. Enfin, une relation précise entre la condition de Collet-Eckmann, une condition d'expansion sur l'ensemble de Julia, et la condition de Holder est prouvée. Ce théorème s'inspire d'un théorème similaire en dynamique réelle unidimensionnelle.
Deuxièmement, une remarque de Carleson, Jones et Yoccoz est prouvée : dans le cas semi-hyperbolique, il existe une métrique admissible sur l'ensemble de Julia telle que la dynamique est en expansion pour cette métrique. En fait, cette métrique est explicitement construite dans la preuve. De plus, une métrique admissible est définie dans un cadre très général, et certaines propriétés intéressantes, à la fois positives et négatives, de ces métriques sont prouvées.
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