Cette thèse est consacrée à l'étude de diverses propriétés géométriques du mouvement brownien planaire et du processus SLE (également connu sous le nom d'évolution stochastique de Loewner, ou parfois de processus de Schramm). Nous prouvons que, sur un chemin brownien planaire typique, il existe presque sûrement des points de "pivotement", c'est-à-dire des points de coupe autour desquels une moitié de la courbe peut tourner d'un angle positif sans jamais croiser l'autre moitié du chemin ; l'ensemble de tous les points de pivotement d'un angle positif donné (suffisamment petit) est alors de dimension de Hausdorff positive. En fait, pour chaque sous-ensemble A du plan complexe, nous décrivons un sous-ensemble exceptionnel E_A du chemin, défini de manière géométrique. Pour chacun de ces A, nous définissons un exposant d'intersection généralisé ξ(A) et prouvons que dim_H(E_A) = 2-ξ(A), de sorte que E_A est non vide dès que ξ(A) < 2. A propos du SLE, le résultat principal que nous obtenons dans cette thèse est le calcul de la dimension de Hausdorff de sa trace (c'est-à-dire de la courbe qui la génère) ; cette dimension est égale à 1 + κ/8, où κ est le paramètre du SLE - et ceci est valable pour tout paramètre positif plus petit que 8 et différent de 4 (pour κ >= 8, la trace est une courbe de Peano et a donc une dimension de 2). Au passage, nous prouvons l'existence presque sûre de points de coupure sur chaque SLE avec un paramètre plus petit que 8. Nous étudions également le problème de la généralisation du processus SLE à des domaines non strictement connectés ; nous montrons que la construction est possible pour deux valeurs particulières du paramètre (κ = 6 et κ = 8/3), en utilisant dans chaque cas des propriétés spécifiques du SLE correspondant (respectivement, la propriété de restriction et la localité), mais la propriété d'universalité du SLE habituel est alors perdue.