Cauchy uniqueness for analytic or C∞ partial differential equations. Necessary and sufficient conditions
Unicité de Cauchy pour les équations aux dérivées partielles analytiques ou C∞. Conditions nécessaires et conditions suffisantes
Résumé
Necessary conditions and sufficient conditions for the uniqueness in the Cauchy problem are given here in the case of analytic or C∞ partial differential equations. For an equation (E) near x_0 ∈ R^n and a time function, we attempt to characterize the following property : for any pair u_1,u_2 of solutions of (E), u_1 = u_2 in the past implies u_1 = u_2 in the future (locally : u_1 and u_2 are germs at x_0). We bring up a detailed study of first order linear equations where structure conditions, suggested by the definition of Hörmander's principally normal operators, are discussed, and results extending Hörmander's notion of pseudo-convexity for different classes of linear equations : characteristic analytic equations (in that framework, nonlinear first-order equations are also treated), first order (C∞) equations, second order equations of real principal type, principally normal equations of biprincipal type. In the proofs, our tools are traditional Carleman inequalities and geometrical optics mixed with analytic Cauchy problem techniques and ideas from other domains of analysis.
Nous donnons dans cette thèse des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l'unicité de la solution du problème de Cauchy dans le cas d'équations aux dérivées partielles analytiques ou C∞. Etant données une équation (E) près de x_0 ∈ R^n et une fonction temps, nous cherchons à caractériser la propriété suivante : pour toute paire u_1,u_2 de solutions de (E), u_1 = u_2 dans le passé implique u_1 = u_2 dans le futur (localement : u_1 et u_2 sont des germes en x_0). Outre une étude détaillée des équations linéaires du premier ordre pour lesquelles nous discutons les conditions de structure suggérées par la définition des opérateurs principalement normaux de Hörmander, nous présentons des résultats étendant la notion de pseudo-convexité de Hörmander pour différentes classes d'équations linéaires : équations analytiques caractéristiques (dans ce cadre, nous étudions aussi l'équation non-linéaire du premier ordre), équations (C∞) du premier ordre, équations du deuxième ordre du type principal réel, équations principalement normales de type biprincipal. Aux méthodes traditionnelles que sont les inégalités de Carleman et l'optique géométrique, nous avons joint dans nos démonstrations des techniques issues du problème de Cauchy analytique ainsi que des idées provenant d'autres domaines de l'analyse.
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