Study of some spectral shape optimization problems
L'étude de quelques problèmes d'optimisation de forme spectrale
Résumé
We investigate the attitude of the solution of the Wentzell-Laplace boundary value problem with respect to shape deformations. On one hand, we prove the continuity of the solution under Lipschitz deformation of uniformly Lipschitz domains in the Euclidean space R^d. On the other hand, we demonstrate the continuity of the solution under the W^{2,∞} convergence of (2,∞)-Sobolev domains in R^d. After that, we discuss the convergence of the signed distance function in W^{1,p}(B) with 1 ≤ p ≤ ∞ with respect to the Hausdorff convergence of less regular domains, where B is a large ball containing the sequence of domains (Ω_{n})_{n∈N} and the limit set Ω, and we derive the following results: the uniformly Lipschitz case is enough for proving the convergence of the first order differential in L^p with 1 ≤ p < ∞; while in case p = ∞, we need to assume more regularity, the "positive reach" one. Moreover, to prove the convergence of the first order differential of the projection function on ∂Ω_{n} in L^p with 1 ≤ p ≤ ∞, we have to inject the (2,∞)-Sobolev regularity with the necessity of W^{2,∞} convergence of these domains. In a second step we consider the eigenvalues problem. In order to illustrate the behavior of the spectrum, we consider an explicit example about the ball in R^2, where we find explicitly the eigenvalues and their corresponding eigenfunctions. After showing the analyticity of the eigenvalues λ and their corresponding eigenfunctions u in an open neighborhood of t = 0, we derive, in the sense of Hadamard, the first and second-order shape derivatives of the eigenvalues at time t = 0. After that, we show that the ball is not a critical shape of this eigenvalue problem, with and without a volume constraint. Finally, in dimension two, we prove that, with some constraints and under a deformation vector field V ∈ W^{3,∞}(Ω_{0}, R^2), there are no critical shapes for this eigenvalue problem. Finally, we try to show that if we have a multiple eigenvalue λ in Ω, it can split under certain deformation of the initial shape. Last but not least, we discuss the generic simplicity of the spectrum. We provide reflections and elements of study for these two problems that remain open.
Nous étudions l'attitude de la solution du problème aux limites de Wentzell-Laplace par rapport aux déformations de forme. D'une part, nous prouvons la continuité de la solution sous une déformation Lipschitz d'un problème de valeurs limites uniformément Lipschitz domaines dans l'espace euclidien R^d. D'autre part, nous démontrons la continuité de la solution sous la convergence W^{2,∞} des domaines de (2,∞)-Sobolev dans R^d. Après cela, nous discutons de la convergence de la fonction distance signée dans W^{1,p}(B) avec 1 ≤ p ≤ ∞ par rapport à la convergence de Hausdorff des domaines moins réguliers, où B est une grande boule contenant la séquence des domaines (Ω_{n})_{n∈N} et l'ensemble limite Ω, et on peut en déduire les résultats suivants: le cas uniformément Lipschitz suffit pour prouver la convergence de la différentielle du premier ordre dans L^p avec 1 ≤ p < ∞; alors que dans le cas p = ∞, nous devons supposer une régularité plus importante, qui est celle de la "positive reach". De plus, pour prouver la convergence de la différentielle du premier ordre de la fonction de projection sur ∂Ω_{n} dans L^p avec 1 ≤ p ≤ ∞, nous devons injecter la régularité de (2,∞)-Sobolev avec la nécessité de convergence W^{2,∞} de ces domaines. Ensuite on considère le problème de valeurs propres associé. Afin d'illustrer le comportement du spectre, nous considérons un exemple explicite sur la boule dans R^2, où nous trouvons explicitement les valeurs propres et leurs fonctions propres correspondantes. Après avoir montré l'analyticité des valeurs propres λ et de leurs fonctions propres correspondantes u dans un voisinage ouvert de t = 0, nous dérivons, au sens de Hadamard, les dérivées de forme du premier et du second ordre des valeurs propres à l'instant t = 0. Ensuite, nous montrons que la boule n'est pas une forme critique de ce problème de valeurs propres, avec et sans contrainte de volume. Enfin, en dimension deux, nous prouvons que, sous certaines contraintes et sous un champ de vecteurs de déformation V ∈ W ^{3,∞}(Ω_{0}, R^2), il n'y a pas de formes critiques pour ce problème de valeurs propres. Nous avons essayé de montrer que si nous avons une valeur propre multiple λ dans Ω, elle peut se diviser sous certaines déformations de la forme initiale. Enfin et surtout, nous discutons de la simplicité générique du spectre. Ces deux problèmes restent ouverts.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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| Licence |
Domaine public
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