Representations up to homotopy and perfect complexes over differentiable stacks - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Representations up to homotopy and perfect complexes over differentiable stacks

Représentations à homotopie près et complexes parfaits sur les champs différentiables

Résumé

This thesis is concerned with the geometry of stacks in the differential geometry context using homotopical and higher categorical techniques. These techniques becomes necessary to deal with simple stack generalizations of crucial objects such as tangent and cotangent bundles, forms on a stack, their automorphisms and more generally perfect complexes, which are one of the main object of study of this work. In the first part of this thesis we give an overview of higher and differentiable stacks, their homotopy theory and cohomology theories. In the second part we study one representation up to homotopy of Lie groupoids and rely them with a theory of perfect complex over differentiable stacks. Among our results, we show that a representation up to homotopy on a Lie groupoid is the same as a cohesive module on its dg-algebra of smooth functions and that the correspondent dg-categories are Morita invariant. This allows us to give a definition of dg-category of perfect complexes on a differentiable stack. We moreover construct a Lie 2-groupoid of automorphisms of 2-terms complexes of vector bundles, which is a higher analogue of the classifying stack BGL_n. We conclude by giving a definition of the differentiable 2-stack of perfect complexes of amplitude [0,1] by means of a Lie 2-groupoid presenting it.
Cette thèse concerne l’étude de la géométrie des champs dans le contexte de la géométrie différentiable, utilisant les outils de la théorie de l’homotopie et des catégories supérieures. Ces techniques deviennent nécessaires pour traiter des généralisation aux champs d’objets géométriques fondamentales, tels que les fibrés tangent et cotangent, les formes sur un champs, leurs automorphismes et plus en général les complexes parfaits, qui sont un des objets principaux dans ce travail. Dans la première partie de cette thèse nous faisons une récapitulation des champs différentiables supérieurs, leur homotopie et cohomologie. Dans la deuxième partie nous étudions les représentations à homotopie près des groupoïdes de Lie et nous les relions avec une théorie des complexes parfaits sur les champs différentiables. Parmi nos résultat, nous montrons que une représentation à homotopie près d’un groupoïde de Lie est exactement un module cohésive sur la dg-algèbre des fonctions lisses et que les dg-catégories correspondants sont Morita invariantes. Ça nous permets de donner une définition de dg-catégorie des complexes parfaits sur un champ différentiable. De plus nous construisons un 2-groupoide de Lie des automorphismes des complexes des fibrés vectoriels de longueur 2, qui est un analogue supérieur du champs classifiant BGL_n. Nous concluons avec une définition du 2-champs différentiable des complexes parfaits de amplitude [0,1] par le biais d’une présentation par un 2-groupoide de Lie .
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-04166814 , version 1 (20-07-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04166814 , version 1

Citer

Davide Stefani. Representations up to homotopy and perfect complexes over differentiable stacks. Algebraic Topology [math.AT]. Sorbonne Université, 2019. English. ⟨NNT : 2019SORUS687⟩. ⟨tel-04166814⟩
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