Application des groupes de cohomologie non ramifiée en degré 3 ou 4 à la construction de corps unirationnels non rationnels - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1992

Unramified cohomology in degree three or four and ratio­nality problems

Application des groupes de cohomologie non ramifiée en degré 3 ou 4 à la construction de corps unirationnels non rationnels

Emmanuel Peyre

Résumé

The aim of this work is to construct unirational func­tion fields K over an algebraically closed field k of characteristic 0 such that the unramified cohomology group H^i_nr(K,µ^xi_p), is not triv­ial for i = 2,3 or 4. This implies that the field K is not stably rational over k. For this purpose, let us consider a function field K over k and a finite subgroup U of K*/ K*p. We get a morphism Φ from the exterior algebra of this subgroup to +_j∈N H^j(K,µ^xi_p). We give then a sufficient condition for an element in this exterior algebra to have a non-ramified image. This condition is based on the kernel of Φ. Thus the problem reduces essentially to determining this ker­nel. This is made possible in particular cases by theorems proved by Amitsur in degree two, by Arason and Suslin in degree three and by Jacob and Rost in degree four.
L'objectif de la thèse est de construire un corps de fonctions K unirationnel sur un corps k algébriquement clos et de caractéristique 0 tels que le groupe de cohomologie non ramifiée H^i_nr(K,µ^xi_p) soit non nul pour i = 2,3 ou 4 et p un nombre premier. Cela implique que le corps K n'est pas stablement rationnel sur k. Pour cela, on considère K un corps de fonctions sur k et U un sous-groupe fini de K*/K*p. On peut alors définir un morphisme Φ de l'algèbre extérieure de U dans +_j∈N H^j(K,µ^xi_p). On donne alors une condition suffisante pour que l'image d'un élément de cette algèbre extérieure ait une image non ramifiée. Cette condition s'exprime dans l'algèbre extérieure en utilisant le noyau de Φ. Le problème se réduit donc essentiellement à déterminer ce noyau, ce qui est possible dans des cas particuliers grâce à des théorèmes démontrés par Amitsur en degré deux, par Arason et Suslin en degré trois et par Jacob et Rost en degré quatre.
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Dates et versions

tel-04168841 , version 1 (22-07-2023)

Identifiants

  • HAL Id : tel-04168841 , version 1

Citer

Emmanuel Peyre. Application des groupes de cohomologie non ramifiée en degré 3 ou 4 à la construction de corps unirationnels non rationnels. Mathématiques [math]. Université Paris-Sud, 1992. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-04168841⟩
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