Around a Piatetski-Shapiro theorem (Prime numbers in the sequence [n^c])
Autour d'un théorème de Piatetski-Shapiro (Nombres premiers dans la suite [n^c])
Résumé
This work deals with Piatetski-Shapiro's problem: the arithmetic properties of the sequence [n^c]. It is proved that this sequence contains the expected number of primes whenever c < 1.15417 ..., thus improving Kolesnik's result with c < 1.147 .... It is also proved that this result can be extended to almost every c < 2, in the sense of Lebesgue's mesure, even with sequences of a more general type. A lower bound of the expected number of primes in the sequence, with the correct order of magnitude, is shown to hold true whenever c < 1.166 ..., using Rosser-Iwaniec's sieve. Some related problems are also tackled. A result of Balog on the repartition of p^θ modulo 1 is proved by an elementary method. It is proved that for c < 1.05851..., every sufficiently large odd integer can be written as the sum of three primes of the above sequence, thus improving the value 1.05 given by Balog and Friedlander. It is proved that the number of representations of an integer as the sum of two numbers from the above sequence has the expected order of magnitude for c < 6/5. Most of these results were obtained with exponential sums estimates, using the double large sieve of Bombieri and Iwaniec.
Dans ce travail, on s'intéresse au problème de Piatetski-Shapiro, c'est-à-dire qu'on étudie diverses propriétés arithmétiques de la suite [n^c]. On démontre que cette suite contient le nombre attendu de premiers pourvu que c < 1.15147..., améliorant ainsi le résultat de Kolesnik pour c < 1.147.... On montre de plus que ce résultat peut s'étendre à presque tout c < 2, au sens de la mesure de Lebesgue, et ceci pour des suites d'un type nettement plus général que celui énoncé précédemment. On donne également une minoration du nombre attendu de premiers dans cette suite possédant le bon ordre de grandeur pour c < 1.166..., en utilisant le crible linéaire de Rosser-Iwaniec. Plusieurs problèmes voisins ont été également abordés. On donne une méthode élémentaire pour retrouver un résultat de Balog sur la répartition de p^θ modulo 1. On montre que pour c < 1.05851..., tout entier naturel impair assez grand s'écrit comme somme de trois nombres premiers de la forme [n^c], améliorant la valeur 1.05 donnée par Balog et Friedlander. On prouve enfin que le nombre de représentations d'un entier comme somme de deux nombres de la forme [n^c] a l'ordre de grandeur escompté pour c < 6/5. La plupart de ces résultats sont dus à des estimations de sommes d'exponentielles, utilisant en particulier le double grand crible de Bombieri et Iwaniec.
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