Fast high-resolution drawing of algebraic curves and surfaces
Dessin rapide de courbes et surfaces algébriques en hautes résolutions
Résumé
Scientific visualization allows users to build an intuition and to get an understanding of their data. Its applications are numerous: modeling for simulations, mechanism design, medical imaging... We address the problem of visualizing implicit algebraic plane curves and surfaces, that are solutions of a polynomial equation P(x,y) = 0 or Q(x,y,z) = 0. More specifically, we handle the problem of drawing high degree curves or surfaces at a high resolution. In this case, most state-of-the-art approaches fail to produce drawings in a reasonable time due to the high evaluation cost of the polynomial. Our main contribution is to combine standard visualization algorithms from computer graphics with multipoint evaluation methods from computer algebra. More precisely, we use the fast Discrete Cosine Transform (DCT), which can be computed efficiently with the Fast Fourier Transform (FFT) algorithm. In most of our algorithms, we have combined that idea with a classical subdivision process in order to reduce the number of evaluations. Using exact error bound computation and interval arithmetic, we propose new algorithms which produce certified drawings. We compare them experimentally on two classes of high degree polynomials. Notably, some of those approaches are faster than state-of-the-art drawing software.
La visualisation scientifique permet aux utilisateurs de développer une intuition sur leurs données et de les comprendre. Elle a de nombreuses applications : modélisation pour les simulations, conception de mécanismes, imagerie médicale... Nous abordons le problème de la visualisation de courbes et de surfaces algébriques implicites, qui sont solutions d'une équation polynomiale P(x,y) = 0 ou Q(x,y,z) = 0. Plus précisément, nous traitons le problème du tracé de courbes ou de surfaces de haut degré en haute résolution. Dans ce cas, la plupart des approches de l'état de l'art ne parviennent pas à produire des dessins en un temps raisonnable en raison du coût élevé de l'évaluation polynomiale. Notre principale contribution consiste à combiner des algorithmes standards de visualisation issus de l'infographie avec des méthodes d'évaluation multipoints issues du calcul formel. Plus précisément, nous utilisons la transformée en cosinus discrète (DCT), qui peut être calculée efficacement avec l'algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT). Dans la plupart de nos algorithmes, nous avons combiné cette idée avec un processus de subdivision classique afin de réduire le nombre d'évaluations. En utilisant un calcul exact de borne d'erreur et l'arithmétique d'intervalles, nous proposons de nouveaux algorithmes qui produisent des dessins certifiés. Nous les comparons expérimentalement sur deux classes de polynômes de haut degré. En particulier, certaines de ces approches sont plus rapides que les logiciels de l'état de l'art.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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