Algebraic aspects of Clifford gate quantum circuits. Application to circuit optimization and entanglement
Aspects algébriques des circuits quantiques de portes de Clifford. Application à l'optimisation des circuits et à l'intrication
Résumé
We are exploring different types of quantum circuits composed of well-known quantum gates called Clifford gates from an algebraic perspective. The algebraic tools used are mainly derived from group theory, invariant theory, and algebraic geometry. This study is related to two significant issues in current quantum computing development : circuit optimization to reduce the impact of noise, and producing entangled states, which are essential resources for various communication protocols.We first focus on the group structures underlying these circuits. In some cases, this study allows us to develop circuit reduction algorithms, typically heuristics. Thus, we show that the group generated by the CNOT and SWAP gates is the quotient of a Coxeter group and we use the Dehn algorithm to derive a heuristic for reducing those circuits. We also provide a way to write graph states using O(n^2/ln n) quantum gates acting on two qubits. Finally, we construct a new pseudo-normal form for Clifford circuits, related to an original decomposition of matrices from the symplectic group Sp(2n, F) where F is the field with two elements.Secondly, we study the occurrence of entanglement in circuits made up of CZ gates and CNOT gates. For a small number of qubits, we show that these circuits can produce useful entangled states, which we classify into orbits under the action of the SLOCC group. We also investigate the possibility of creating generically entangled states, that is, states that do not cancel the Cayley hyperdeterminant. In particular, we propose a construction of a 4-qubit state that maximizes the modulus of the hyperdeterminant using CNOT gates acting on a factorized state.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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