Parabolic Hitchin connection
Connexion de Hitchin parabolique
Résumé
Let C/S be a smooth family of projective complex curves of genus g>1 parameterized by a complex variety S and take a divisors on C of relatif degree N given by N different sections of C/S. For a fixed parabolic type we associate the relative moduli space of parabolic rank-r vector bundles of parabolic of fixed determinant. This moduli space is equipped with a polarization given by Θ_par the parabolic determinant line bundle (which depends on the parabolic type).In this dissertation we study the existence of a projective connection so called Hitchin connection on the pushforward of Θ_par to S, with an algebro-geometric techniques. The main tool is the notion of Heat operators in algebraic geometry introduced by van Geemen and de Jong. We take the quadratic part of the parabolic Hitchin system that we call parabolic symbol (which depends only on the quasi-parabolic type and not on the weights). We prove that it is invariant under Hecke modifications and that it satisfies the van Geemen-de Jong criterion for the existence of a heat operator with this symbol. Thus we obtain a projective connection, which turns out to be flat.To do this we define two Atiyah-type exact sequences in the parabolic context that allow us to prove a deformation theorem for marked curves equipped with a quasi-parabolic vector bundle. Hence we get a factorisation of the Kodaira-Spencer map of the family of moduli spaces along the Kodaira-Spencer map of the family of marked curves C/S and a description of the Atiyah class of the pull-backs of the determinant line bundles under the forgetful maps to the moduli space of semi-stable rank-r vector bundles with fixed determinant. The key ingredient to conclude is a decomposition of the parabolic determinant bundle Θ_par and of the canonical line bundle.
Soit C/S une famille lisse de courbes projectives complexes de genre g>1 paramètrées par une variété complexe S et prenons une famille de diviseurs de degrés relatifs N donnés par N sections différentes de la famille C/S. Pour un type parabolique fixe on associe l'espace de module relatif à S des fibrés vectoriels paraboliques de rang-r de type ce parabolique et de déterminant fixe. Cet espace de module est muni d'une polarisation donnée par Θ_par le fibré déterminant parabolique (dépendant du type parabolique ). Dans cette thèse nous étudions l'existence d'une connexion projective que nous appelons connexion de Hitchin sur l'image direct de Θ_par sur S, avec des techniques algébro-géométrique. L'outil principal est la notion des opérateurs de la Chaleur en géométrie algébrique introduite par van Geemen et de Jong. On prend la partie quadratique du système de Hitchin parabolique ρ_par que l'on appelle symbole parabolique (qui ne dépend que du type quasi-parabolique et non des poids). Nous prouvons qu'il est invariant sous les modifications de Hecke et qu'il satisfait le critère de Van Geemen De & Jong donc il se relève a un opérateur de chaleur a valeur dans Θ_par de symbole ρ_{par}. Donc on obtient une connexion projective sur le poussé en avant de Θ_par sur S, qui s'avère être une connexion plate.Pour ce faire nous définissons deux suites exacte de type Atiyah dans le contexte des fibrés parabolique qui nous permettent de démontrer un théorème de déformation pour des courbes marquées munies d'un fibré vectoriel quasi-parabolique. On obtient donc une factorisation du Kodaira-Spencer de la famille des espaces de modules des fibrés paraboliques le long du Kodaira-Spencer de la famille des courbes marquées C/S et une description de la classe Atiyah des pull-backs des fibrés déterminants sous les applications d'oublies vers les espaces des module des fibrés vectoriels semi-stables de rang-r et déterminant fixe. L'ingrédient clef pour conclure est la décomposition du fibré déterminant parabolique Θ_par et du fibré canonique.
Domaines
Géométrie algébrique [math.AG]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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