Numeric and analytic study of models arising in neuroscience and physics
Étude numérique et analytique de modèles issus des neurosciences et de la physique
Résumé
This manuscript is devoted to the theoretical and numerical analysis of partial differential equations arising in kinetic theory and neuroscience. On the one hand, we study the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck model which describes the kinetic distribution of an electron cloud subject to collisions with an ionic bath as well as to Coulombic interactions between charged particles. To begin with, we focus on the parabolic regime, in which the kinetic distribution of electrons converges to a macroscopic distribution. We will prove optimal rates which characterize this convergence. Then, we complement this theoretical result with the numerical analysis of the model. First, we propose a numerical method treating the case of an applied electric field. Our approach consists in adapting to the discrete framework hypocoercivity techniques which have been classically used to study the continuous model. These techniques will allow us to demonstrate quantitatively our method's ability to reproduce the behavior of the continuous model in both parabolic and long time regimes. Finally, we propose a method to treat the coupling with a self-consistent electric field. For a linear coupling, we demonstrate similar results to the case of the applied field. In the case of non-linear coupling, we carry out various numerical simulations to illustrate non-linear phenomena such as plasma echo. On the other hand, we focus on a model describing a spatially structured network of FitzHugh-Nagumo neurons. We propose methods to quantitatively characterize the behavior of the network when the interactions between nearby neurons are intense. More precisely, we show that in this regime, neighboring neurons tend to align their membrane potential, leading to the concentration of the membrane potential distribution at each spatial location. We characterize the concentration profile of the distribution following three methods. The first one leads to a weak convergence result, the second to a strong convergence result and the last to a uniform convergence result. We pay particular attention to the quantitative character of our results and we discuss their optimality by comparing these different approaches.
Ce travail est consacré à l'analyse théorique et numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la théorie cinétique et des neurosciences. D'une part, on étudiera le modèle de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck qui décrit la distribution cinétique d'un nuage d'électron sujet aux collisions avec un bain ionique ainsi qu'aux interactions coulombiennes entre particules chargées. Pour commencer, on se penchera sur le régime parabolique, dans lequel la distribution cinétique des électrons converge vers une distribution macroscopique. Nous démontrerons des taux optimaux permettant de caractériser cette convergence. Puis, on complètera ce résultat théorique par l'analyse numérique du modèle. Dans un premier temps, nous proposerons une méthode numérique traitant le cas d'un champ électrique appliqué. Notre approche consistera à adapter au cadre discret les techniques d'hypocoercivité jusqu'alors classiques pour l'étude du modèle continu. Cela nous permettra de démontrer quantitativement que notre méthode reproduit le comportement du modèle continu dans le régime parabolique ainsi que sur des temps longs. Enfin, nous proposerons une méthode permettant de traiter le couplage avec un champ électrique auto-consistant. Dans le cas d'un couplage linéaire, nous démontrerons des résultats similaires au cas du champ appliqué. Dans le cas d'un couplage non-linéaire, nous mènerons des simulations numériques variées visant à illustrer des phénomènes non-linéaires tels que l'écho plasma. D'autre part, on se concentrera sur un modèle de type champ moyen décrivant la distribution des potentiels membranaires dans un réseau neuronal de FitzHugh-Nagumo. On proposera des méthodes permettant de caractériser quantitativement le comportement du réseau lorsque les interactions entre neurones proches sont intenses. Plus précisément, on montrera que dans ce régime, les neurones voisins tendent à aligner leur potentiel de membrane, conduisant à la concentration de la distribution des potentiels en chaque point d'espace. Nous caractériserons le profil de concentration de la distribution des potentiels en suivant trois méthodes. La première nous permettra d'obtenir un résultat de convergence faible, la seconde un résultat de convergence forte et la dernière un résultat de convergence uniforme. On attachera une attention particulière au caractère quantitatif de nos résultats et on discutera leur optimalité en comparant ces différentes approches.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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