Families of canonical hermitiian metrics
Familles de métriques hermitiennes canoniques
Résumé
In this thesis, we are interested in singular canonical and special metrics on a family of compact complex possibly non-Kähler varieties.The first result concerns the existence of "singular" Gauduchon metrics. Under certain assumptions on the singularities, we prove that such a compact singular variety admits a bounded Gauduchon metric in every conformal class of a smooth hermitian metric. This generalizes Gauduchon's theorem to a singular setup. On the other hand, in each conformal class, we also show the uniqueness of bounded Gauduchon metrics up to a positive multiple in each conformal class. Furthermore, we obtain an extension property of the dollar (n-1)dollar -th power of a bounded Gauduchon metric as a positive pluriclosed current on a singular variety. In the second part, we aim at establishing a uniform dollar L^inftydollar -estimate of solutions to complex Monge--Ampère equations for a family of hermitian varieties. Then we show a uniform dollar L^1dollar -estimate of sup-normalized quasi-plurisubharmonic functions when the family is a smoothing of a hermitian variety that has only isolated singularities. The proof consists of pluripotential theory and uniform control of Gauduchon factors. Furthermore, combining with a uniform dollar L^pdollar -estimate of the canonical densities, we obtain uniform boundedness of the solutions of families of complex Monge--Ampère equations in such cases.
Le premier résultat concerne l'existence de métriques de Gauduchon "singulières". Sous certaines hypothèses sur les singularités, nous prouvons qu'une telle variété singulière compacte admet une métrique de Gauduchon bornée dans la classe conforme d'une métrique hermitienne lisse fixée. Ceci généralise le théorème de Gauduchon dans le cas singulier. D'autre part, dans chaque classe conforme, nous montrons également l'unicité des métriques de Gauduchon bornées à une constante multiplicative près. De plus, nous obtenons une propriété d'extension de la dollar (n-1)dollar ème puissance d'une métrique de Gauduchon bornée comme courant plurifermé positif sur une variété singulière. Dans la deuxième partie, nous cherchons à établir des estimations uniformes pour les solutions d'équations de Monge--Ampère complexes pour une famille de variétés hermitiennes. Ensuite, nous montrons une estimation uniforme dollar L^1dollar des fonctions quasi-plurisousharmoniques sup-normalisées quand la famille est un lissage d'une variété hermitienne qui n'a que des singularités isolées. La preuve s'appuie sur la théorie du pluripotentiel et un contrôle uniforme des facteurs conformes de Gauduchon. Combinée à l'estimation uniforme dollar L^pdollar des densités canoniques, nous obtenons un contrôle uniforme des solutions des familles d'équations de Monge--Ampère complexes dans de tels cas.
Domaines
Variables complexes [math.CV]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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