Hypergraphs and the Maker-Breaker game : a structural approach
Hypergraphes et jeu Maker-Breaker : une approche structurelle
Résumé
This PhD thesis discusses games and hypergraphs. In particular, our focus is on games played on hypergraphs, whose analysis ends up leading to the study of hypergraph problems that are interesting on their own. Positional games involve two players alternately claiming vertices of a hypergraph, with objectives that can vary: for instance, tic-tac-toe is an example where each player wants to be the first to pick all the vertices of some edge. In the Maker-Breaker convention, one player ("Maker") wants to pick all the vertices of some edge, while the other ("Breaker") wants to prevent this from happening. The main theme is the study of hypergraph structures and their implications for the Maker-Breaker positional game. We are especially interested in hypergraphs of rank 3: this means all edges are of size at most 3, which allows for some structural results and helps understand the Maker-Breaker game in this case. Another theme is the design of polynomial-time algorithms to solve games and hypergraph problems. These two themes are very much linked together, since any structural characterization yields an algorithm which is as efficient as the structure in question is simple.Chapter I presents all notions featured in this dissertation, as well as preliminary results. We provide some state of the art around positional games, and we then introduce our structural approach to the Maker-Breaker game, centered on a notion of dangers created by Maker which Breaker must destroy immediately. Some elementary structures in hypergraphs, particularly in hypergraphs of rank 3, are also studied. Chapter II carries out the in-depth structural studies at the core of this dissertation. We obtain a structural characterization for the outcome of the Maker-Breaker game on hypergraphs of rank 3, as well as optimal strategies for both players, all based on danger intersections. A direct link appears with a particular connectivity problem in hypergraphs, for which we give a fine structural description of the associated connected components. Chapter III reaps the algorithmic rewards of the structural studies from the previous chapter, along with some further investigations. We explain how the structural results yield polynomial-time algorithms, firstly to compute the aforementioned connected components, and secondly to solve the Maker-Breaker game on hypergraphs of rank 3 as a corollary. Other complexness facets of the game, besides the algorithmic aspect, are also considered. Chapter IV addresses a reconfiguration problem on the square grid, of a type that can somewhat be likened to a one-player version of Maker-Breaker games. We first recall results from Demaine et. al., who introduced this problem. A case which the authors thought was solved turns out to be complicated, and we bring some contributions towards its study.
Cette thèse traite de jeux et d'hypergraphes. Nous nous concentrons tout particulièrement sur des jeux joués dans les hypergraphes, dont l'analyse s'avère conduire à l'étude de problèmes d'hypergraphes qui sont intéressants en soi. Les jeux positionnels mettent en scène deux joueurs qui sélectionnent tour à tour des sommets d'un hypergraphe, avec des objectifs variables: par exemple, au jeu du morpion, chaque joueur veut être le premier à posséder entièrement l'une des arêtes de l'hypergraphe. En convention Maker-Breaker, un joueur ("Maker") veut posséder entièrement l'une des arêtes, tandis que l'autre ("Breaker") veut l'en empêcher. Le thème principal est l'étude de structures dans les hypergraphes et leurs implications pour le jeu positionnel Maker-Breaker. En particulier, nous sommes intéressés par les hypergraphes de rang 3: cela signifie que toutes les arêtes sont de taille au plus 3, ce qui permet des résultats structurels et aide à comprendre le jeu Maker-Breaker dans ce cas. Un autre thème est la conception d'algorithmes en temps polynomial pour résoudre des jeux et des problèmes d'hypergraphes. Ces deux thèmes sont intimement liés, puisque toute caractérisation structurelle fournit un algorithme aussi efficace que la structure en question est simple.Le Chapitre I présente toutes les notions utilisées dans ce mémoire, ainsi que des résultats préliminaires. Après un état de l'art autour des jeux positionnels, nous introduisons notre approche structurelle du jeu Maker-Breaker, centrée sur une notion de dangers créés par Maker et que Breaker doit détruire immédiatement. Certaines structures élémentaires dans les hypergraphes, de rang 3 en particulier, sont aussi étudiées. Le Chapitre II réalise les études structurelles approfondies qui sont au coeur de ce mémoire. Nous obtenons une caractérisation structurelle de l'issue du jeu Maker-Breaker dans les hypergraphes de rang 3, ainsi que des stratégies optimales pour les deux joueurs, tout cela basé sur des propriétés d'intersections de dangers. Un lien direct apparaît avec un problème de connectivité dans les hypergraphes, pour lequel nous donnons une description structurelle fine des composantes connexes associées. Le Chapitre III récolte les fruits algorithmiques des études structurelles du chapitre précédent, et poursuit un peu plus loin. Nous expliquons comment les résultats structurels impliquent des algorithmes en temps polynomial, d'abord pour le calcul des composantes connexes susmentionnées, puis pour la résolution du jeu Maker-Breaker dans les hypergraphes de rang 3 comme corollaire. D'autres aspects de complexité du jeu, pas seulement algorithmique, sont également considérés. Le Chapitre IV concerne un problème de reconfiguration dans la grille carrée, d'un type qui peut être rapproché d'une version à un seul joueur du jeu Maker-Breaker. Nous rappelons quelques résultats de Demaine et. al., qui ont introduit ce problème. Un cas que les auteurs pensaient résolu s'avère compliqué, et nous apportons notre contribution à son étude.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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