Microlocalization of coadmissible D-modules on a formal curve
Microlocalisation des D-modules coadmissibles sur une courbe formelle
Résumé
The aim of this thesis is to define a characteristic variety for coadmissible $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$-modules in the arithmetic framework.
Consider a formal smooth quasi-compact curve $\mathfrak{X}$ over a complete discrete valuation ring of mixed characteristic.
The main objects of the thesis are the sheaves of differential operators $\widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}}$ with a congruence level $k \in \mathbb{N}$ and their projective limit $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty} = \varprojlim_k \widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}$.
We introduce a microlocalisation sheaf of $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$ in order to define a characteristic variety for coadmissible modules.
Then, following the complex case, a coadmissible module is called holonomic if its characteristic variety has dimension less than or equal to one.
We prove that a coadmissible module is holonomic if and only if it is an integrable connection on some open subset of $\mathfrak{X}$. At last, we bridge holonomic modules with weakly holonomic modules.
Le but de cette th\`ese consiste \`a introduire une vari\'et\'e caract\'eristique pour les $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$-modules coadmissibles dans le cadre arithm\' etique.
Consid\'erons une courbe formelle lisse et quasi-compacte $\mathfrak{X}$ sur un anneau complet de valuation discrete de caract\'eristique mixte.
Les objets principaux de cette th\`ese sont les faisceaux d'op\'erateurs diff\'erentiels $\widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}}$ pour un niveau de congruence $k$ entier et leur limite projective $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty} = \varprojlim_k \widehat{\mathcal{D}}^{(0)}_{\mathfrak{X}, k, \mathbb{Q}}$.
Nous introduisons un faisceau microlocali\'se de $\mathcal{D}_{\mathfrak{X}, \infty}$ afin de d\'efinir une vari\'et\'e caract\'eristique pour les modules coadmissibles.
Nous disons ensuite qu'un module coadmissible est holonome si, comme dans le cas complexe, la dimension de sa vari\'et\'e caract\'eristique est inf\'erieure ou \'egale \`a celle de $\mathfrak{X}$.
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